PliusMinus11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis
Aibės
Aibė – elementų rinkinys. Išmok atlikti veiksmus su aibėmis, užrašyti skaičių intervalus ir vaizduoti juos skaičių tiesėje arba Veno diagramoje.
Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.
Pagrindai
Ką verta žinoti
Sankirta A ∩ B – tik abiem aibėms priklausantys elementai.
Sąjunga A ∪ B – bent vienai iš aibių priklausantys elementai.
[a; b] įtraukia abu kraštus, (a; b) jų neįtraukia.
Pavyzdys. {1; 2; 3} ∩ {2; 3; 4} = {2; 3}.
Dažniausios klaidos
Ką pasitikrinti sprendžiant
A \ B – elementai, kurie priklauso A, bet nepriklauso B. Paprastai A \ B ≠ B \ A.
Tuščia sankirta žymima ∅. Tai nėra aibė {0}, nes pastaroji turi vieną elementą.
Išspręstas pavyzdys
Sankirta, sąjunga ir skirtumas tame pačiame pavyzdyje
Duota A = [−2; 4), B = (1; 6]. Pirma pažymėk, kurie kraštai priklauso kiekvienai aibei.
Abiem aibėms bendri skaičiai griežtai tarp 1 ir 4: A ∩ B = (1; 4). Skaičiaus 1 nėra B, o 4 nėra A.
Bent vienai aibei priklauso visi skaičiai nuo −2 iki 6 imtinai: A ∪ B = [−2; 6]. Tarp intervalų tarpo nėra.
A skirtumas su B palieka A elementus, kurių nėra B: A \ B = [−2; 1]. Skaičius 1 lieka, nes jis nepriklauso B.
Potemės
Šios temos potemės
Šią temą sudaro 5 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.
Potemė
Elementai, poaibiai ir skaičių aibės
Suskaičiuok aibės elementus ir atpažink skaičių aibes.
Aibėje kiekvienas elementas skaičiuojamas vieną kartą.
Ženklas ∈ sieja elementą su aibe; ⊆ reiškia, kad visi vienos aibės elementai priklauso kitai.
Ženklai ∈ ir ⊆ atsako į skirtingus klausimus: ar vienas skaičius yra aibėje ir ar visi vienos aibės elementai yra kitoje.
Pavyzdys. A = {x ∈ ℤ: −2 < x ≤ 3}. Kiek elementų turi A? −2 neįtraukiamas, 3 įtraukiamas: A = {−1; 0; 1; 2; 3}. Iš viso 5 elementai.
Sveikasis skaičius yra racionalusis, nes jį galima užrašyti trupmena su vardikliu 1.
Ne kiekvienas realusis yra racionalusis: pavyzdžiui, √2 negalima užrašyti dviejų sveikųjų skaičių santykiu.
Su skaičiuotuvu
- Skaičiuotuvas gali parodyti apytikslę reikšmę, bet baigtinis ekranas neįrodo racionalumo.
- Elementus surašyk ir pašalink pasikartojimus prieš skaičiuodamas.
Potemė
Veiksmai su aibėmis
Atskirk sankirtą, sąjungą ir skirtumą.
Sankirta A ∩ B – elementai, priklausantys abiem aibėms. Sąjunga A ∪ B – elementai, priklausantys bent vienai.
Skirtumas A \ B – elementai, priklausantys A, bet nepriklausantys B. Aibėje elementas nekartojamas.
Veno diagramoje sankirta yra persidengianti dalis, sąjunga – visas bent vienos aibės plotas. Skirtumui palik tik vienos aibės nepersidengiančią dalį.
Pavyzdys. A = {1; 2; 4}, B = {2; 3; 4}. A ∩ B = {2; 4}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4}, A \ B = {1}.
A \ B paprastai nelygu B \ A. Veiksmų tvarka čia svarbi.
Tuščia aibė ∅ neturi elementų. Aibė {0} turi vieną elementą, todėl nėra tuščia.
Su skaičiuotuvu
- Aibių kiekiams patikrink: 20 + 15 − 5 = 30 elementų sąjungoje, jei 5 bendri.
- Prieš skaičiuodamas nuspręsk, ar reikia rasti sąjungą, sankirtą, ar skirtumą. Pasikartojantį elementą skaičiuok kartą.
Potemė
Intervalai
Užrašyk skaičių aibes ir rask jų bendrą dalį.
Apvalus skliaustas krašto neįtraukia, laužtinis įtraukia. Begalybė visada žymima su apvaliu skliaustu.
Sankirta palieka tik bendrą intervalų dalį, sąjunga apima bent vienam intervalui priklausančius skaičius.
Skliaustas atsako į atskirą klausimą: ar kraštinis skaičius tenkina sąlygą? Tikrink abu kraštus atskirai, ypač jungdamas intervalus.
Pavyzdys. [−2; 4) ∩ (1; 6] = (1; 4), nes 1 nepriklauso antrajam, o 4 – pirmajam intervalui.
[1; 3] ∩ [3; 5] = {3}: vienas bendras kraštinis taškas irgi yra sankirta.
(1; 3) ∩ (3; 5) = ∅, nes 3 neįtrauktas. Susijungiančius intervalus sąjungoje gali užrašyti vienu intervalu.
Su skaičiuotuvu
- Jei abejoji dėl krašto, įstatyk jį į abi sąlygas: 4 netenkina x < 4, todėl neįtraukiamas.
- Sveikųjų skaičių intervale [a; b] yra b − a + 1: intervale [−2; 4] jų 7.
Potemė
Aibių skirtumas ir papildinys
Rask, kas lieka iš aibės pašalinus kitos aibės elementus.
Skirtume A ∖ B lieka A elementai, kurie nepriklauso B.
Aibės papildiniui rasti būtina žinoti universaliąją aibę U: tai U ∖ A.
Skirtumo tvarka svarbi: A ∖ B ir B ∖ A paprastai nėra ta pati aibė. Išvardijęs A elementus, išbrauk tuos, kurie priklauso B.
Pavyzdys. A = {1; 2; …; 11}, B – visi lyginiai A skaičiai. Kiek elementų turi A ∖ B? Pašalinę lyginius paliekame nelyginius. Nelyginių nuo 1 iki 11 yra 6.
Paprastai A ∖ B ir B ∖ A yra skirtingos aibės.
Skirtumas nėra elementų reikšmių atimtis; tikrink priklausymą.
Su skaičiuotuvu
- Pirma nustatyk bendrus elementus, tik tada skaičiuok likusius.
- Skaičiuotuvas padeda atimti kiekius, bet nepasirenka tinkamos aibės.
Potemė
Veno diagramos ir kelių sąlygų uždaviniai
Spręsk kelių sąlygų uždavinius Veno diagrama.
Sudėjus dviejų aibių dydžius bendri elementai suskaičiuojami du kartus.
Sąjungai rask sumą ir vieną kartą atimk sankirtą; nė vienai nepriklausančius atimk iš visumos.
Pirmiausia įrašyk bendrą dalį į persidengimą. Tada kiekvienai aibei palik tik jai priklausančius ir galiausiai suskaičiuok esančius už abiejų.
Pavyzdys. Iš 42 mokinių 21 lanko muziką, 18 – sportą, 8 – abu. Kiek nelanko nei muzikos, nei sporto? Bent vieną lanko 21 + 18 − 8 = 31. Nė vieno: 42 − 31 = 11.
Pradėk Veno diagramą pildyti nuo sankirtos.
„Bent vieną“ reiškia sąjungą, „abu“ – sankirtą, „tik vieną“ neapima sankirtos.
Su skaičiuotuvu
- Įvesk bendras kiekis − (A kiekis + B kiekis − abiejų kiekis).
- Patikrink, ar keturių sričių kiekiai neneigiami ir sudaro visumą.
Pritaikyk žinias
Išbandyk save spręsdamas uždavinius
Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.
Susikurti nemokamą paskyrąIki 10 uždavinių per dieną nemokamai
Jau turi paskyrą? PrisijunkToliau
Susijusios temos
Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.
Aibės
Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius
Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.