PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis

Nelygybės

Spręsdamas nelygybę nustatai visas ją tenkinančias reikšmes. Mokykis tirti reiškinio ženklą, užrašyti sprendinių intervalus ir patikrinti jų ribas.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

a<b⇒−a>−ba<b \Rightarrow -a>-b

Pagrindai

Ką verta žinoti

Pridedant ar atimant tą patį skaičių ženklas nesikeičia.

Dauginant arba dalijant iš neigiamo skaičiaus ženklas apsiverčia.

Griežtos nelygybės kraštas neįtraukiamas: apvalus skliaustas. Kai lygybė leidžiama, kraštą galima įtraukti laužtiniu skliaustu.

Pavyzdys. −2x < 6 → x > −3. Atsakymas: (−3; +∞).

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Intervalų metode pažymėk kiekvieno daugiklio nulį ir tikrink ženklus tarp gautų taškų.

Vardiklio nulis niekada nepriklauso sprendinių aibei. Begalybė nėra skaičius, todėl prie jos visada rašomas apvalus skliaustas.

Išspręstas pavyzdys

Intervalų metodas su neleistinu kraštu

Spręsk (x + 1)/(x − 2) ≤ 0. Vardiklis nelygus nuliui, todėl x ≠ 2.

Skaitiklio nulis yra −1, vardiklio nulis – 2. Šie taškai padalija skaičių tiesę į tris intervalus.

Kai x < −1, abu reiškiniai neigiami, todėl trupmena teigiama. Kai −1 < x < 2, skaitiklis teigiamas, vardiklis neigiamas – trupmena neigiama. Kai x > 2, abu teigiami.

Reikia neigiamos trupmenos arba nulio: įtrauk −1, nes trupmena ten lygi nuliui, tačiau atmesk 2. Atsakymas: [−1; 2).

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 6 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Tiesinės nelygybės

Atkreipk dėmesį į nelygybės ženklą ir teisingai užrašyk sprendinių intervalą.

−2x<6  ⟺  x>−3-2x<6\iff x>-3

Pridedant ar atimant tą patį skaičių nelygybės ženklas nesikeičia.

x−20x ≥ −2
Atsakymas [−2; +∞): užpildytas skritulys rodo, kad −2 įtrauktas, rodyklė – kad intervalas tęsiasi be galo.

Dauginant ar dalijant iš neigiamo skaičiaus ženklas apsiverčia. Griežtos nelygybės kraštas neįtraukiamas.

Ženklo apsivertimą paaiškina skaičių tiesė: padauginus iš neigiamo skaičiaus, taškai apsikeičia vietomis nulio atžvilgiu.

Pavyzdys. 5 − 3x ≤ 11 → −3x ≤ 6 → x ≥ −2. Atsakymas: [−2; +∞).

Prie begalybės visada rašomas apvalus skliaustas: begalybė nėra skaičius.

Dvigubą nelygybę spręsk abiem pusėms: 1 < 2x + 3 ≤ 7 → −2 < 2x ≤ 4 → −1 < x ≤ 2.

Su skaičiuotuvu
  • Rastai ribai x = 2 patikrinti įvesk pradinį reiškinį su x = 1, x = 2 ir x = 3.
  • Skaičiuotuvas patikrina ženklą pasirinktuose taškuose. Visą intervalą ir jo galus pagrįsk sprendimu.

Potemė

Kvadratinės nelygybės

Prieš šią potemę prisimink: Kvadratinės lygtys.

Nustatyk kvadratinės funkcijos ženklą ir pasirink tinkamus intervalus.

a(x−x1)(x−x2)>0a(x-x_1)(x-x_2)>0

Rask kvadratinio reiškinio nulius ir pažymėk juos skaičių tiesėje.

xy12345−112340
Reiškinys neigiamas ten, kur parabolė žemiau x ašies: x ∈ (2; 3). Nelygybė griežta, todėl galai neįtraukti.

Jei yra dvi skirtingos šaknys ir a > 0, reiškinys teigiamas už šaknų, neigiamas tarp jų. Kai a < 0, ženklai priešingi.

Šaknys padalija skaičių tiesę į sritis, kuriose parabolė yra virš x ašies arba žemiau jos. Nelygybės ženklas pasako, kurias sritis pasirinkti.

Pavyzdys. x² − 5x + 6 < 0 → (x − 2)(x − 3) < 0. Parabolė atvira aukštyn, todėl atsakymas (2; 3).

Kai lygybė leidžiama, šaknis įtrauk. Kai nelygybė griežta, šaknų neįtrauk.

Jei D < 0, reiškinio ženklas sutampa su a visoje tiesėje. Kai D = 0, ties šaknimi reiškinys lygus nuliui, bet ženklo nekeičia.

Su skaičiuotuvu
  • Rastai ribai x = 2 patikrinti įvesk pradinį reiškinį su x = 1, x = 2 ir x = 3.
  • Skaičiuotuvas patikrina ženklą pasirinktuose taškuose. Visą intervalą ir jo galus pagrįsk sprendimu.

Potemė

Intervalų metodas

Prieš šią potemę prisimink: Kvadratinės nelygybės.

Nustatyk sandaugos arba trupmenos ženklą kiekviename intervale.

(x−a)(x−b)x−c>0\frac{(x-a)(x-b)}{x-c}>0

Sukelk viską į vieną pusę. Išskaidyk reiškinį ir pažymėk visus skaitiklio bei vardiklio nulius.

x−21+−+(x − 1)/(x + 2) > 0
Kritiniai taškai −2 ir 1 dalija tiesę į tris dalis. Tinka dalys su ženklu +: (−∞; −2) ∪ (1; +∞).

Kiekviename intervale pasirink bandomąjį tašką ir nustatyk reiškinio ženklą. Vardiklio nulis visada atmetamas.

Tarp gretimų kritinių taškų reiškinio ženklas nekinta, jei nėra kitų nulių ar neapibrėžtų vietų. Todėl vieno bandomojo taško intervalui pakanka.

Pavyzdys. (x − 1)/(x + 2) > 0. Kritiniai taškai −2 ir 1; ženklai +, −, +. Atsakymas: (−∞; −2) ∪ (1; +∞).

Ties lyginio kartotinumo šaknimi ženklas nesikeičia: (x − 1)² teigiamas abiejose 1 pusėse.

Nedaugink nelygybės iš nežinomo ženklo vardiklio. Intervalų metodas leidžia išvengti neteisingai apversto ženklo.

Su skaičiuotuvu
  • Rastai ribai x = 2 patikrinti įvesk pradinį reiškinį su x = 1, x = 2 ir x = 3.
  • Skaičiuotuvas patikrina ženklą pasirinktuose taškuose. Visą intervalą ir jo galus pagrįsk sprendimu.

Potemė

Rodiklinės nelygybės

Spręsk nelygybes su nežinomuoju laipsnio rodiklyje ir atsižvelk į pagrindo reikšmę.

0<a<1:au≥av  ⟺  u≤v0<a<1:\quad a^u\ge a^v\iff u\le v

Suvesk laipsnius į tą patį teigiamą pagrindą, nelygų 1.

x0362x ≤ 6x ≤ 3
Kai pagrindas yra tarp nulio ir vieneto, lyginant laipsnių rodiklius nelygybės ženklas pakeičiamas priešingu.

Kai pagrindas didesnis už 1, nelygybės ženklas lieka; kai tarp 0 ir 1, apsiverčia.

Pagrindas tarp 0 ir 1 reiškia mažėjimą: didesnis rodiklis duoda mažesnę reikšmę. Būtent todėl lyginant rodiklius ženklas apsiverčia.

Pavyzdys. Išspręsk (1/2)²ˣ ≥ (1/2)⁶. Pagrindas 1/2 yra tarp 0 ir 1, todėl pereidami prie rodiklių ženklą keičiame. 2x ≤ 6, taigi x ≤ 3. Atsakymas: (−∞; 3].

Ženklą keičia mažėjanti funkcija, o ne pats laipsnio užrašas.

Jei dar daliji iš neigiamo koeficiento, nelygybės ženklą pakeisk dar kartą.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink po vieną x abipus ribos, įvesdamas (0,5) pakelta atitinkamu laipsniu.
  • Tikrinimas padeda pastebėti ženklo klaidą; sprendinių intervalą pagrįsk monotoniškumu.

Potemė

Logaritminė nelygybė ir sritis

Sujunk logaritmo sritį su nelygybės sprendiniais.

log⁡af(x)≤b,f(x)>0\log_a f(x)\le b,\quad f(x)>0

Pirmiausia užrašyk, kad logaritmo argumentas teigiamas.

x19sritis x > 1x ≤ 9atsakymas
Nelygybės sprendinius sukirtus su logaritmo sritimi lieka (1; 9].

Kai a > 1, pereinant prie argumentų ženklas nekinta; kai 0 < a < 1, jis apsiverčia.

Logaritmo grafikas didėja, kai pagrindas didesnis už 1, ir mažėja, kai pagrindas tarp 0 ir 1. Ši kryptis lemia nelygybės ženklą.

Pavyzdys. Išspręsk log₂(x − 1) ≤ 3. Sritis x > 1. Kadangi 2 > 1, x − 1 ≤ 8. Sankirta: 1 < x ≤ 9.

Galutinis atsakymas – nelygybės sprendinių ir apibrėžimo srities sankirta.

Argumento nulis niekada neįtraukiamas, net jei nelygybė negriežta.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrai log₂(u) įvesk log(u) ÷ log(2).
  • Neskaičiuok log(0) ir log(neigiamo skaičiaus): tai nepriklauso sričiai.

Potemė

Sistemų sprendinių sankirta

Rask skaičius, tenkinančius kelias nelygybes kartu.

S=S1∩S2S=S_1\cap S_2

Sistemos nelygybės turi galioti vienu metu.

x137(x − 1)(x − 7) ≤ 0x > 3sistema
Sistemos sprendiniai – tik bendra abiejų juostų dalis: (3; 7].

Išspręsk kiekvieną atskirai ir skaičių tiesėje pažymėk jų sankirtą.

Sankirta palieka tik skaičius, kurie tenkina abi sąlygas. Skaičių tiesėje tai yra persidengianti pažymėtų atkarpų dalis.

Pavyzdys. Išspręsk sistemą: (x − 1)(x − 7) ≤ 0 ir x > 3. Pirmos nelygybės sprendiniai [1; 7]. Paliekame tik x > 3: (3; 7].

Negriežtos nelygybės leidžia įtraukti nulį skaitiklyje, bet niekada neleidžia nulio vardiklyje.

Jei intervalai nesusikerta, sprendinių aibė tuščia.

Su skaičiuotuvu
  • Pasirink skaičių iš gauto intervalo ir patikrink abi pradines nelygybes.
  • Tikrink ir ribinius taškus – taip nuspręsi, ar skliaustas uždaras.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Lygtys Aibės Funkcijos Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Nelygybės

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus