PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis

Logaritmai

Logaritmas nusako, kokiu laipsniu reikia pakelti pagrindą, kad gautum argumentą. Išmok taikyti šį apibrėžimą, logaritmų savybes ir tikrinti jų apibrėžimo sąlygas.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b=c\iff a^c=b

Pagrindai

Ką verta žinoti

Logaritmo pagrindas a turi būti teigiamas ir nelygus 1; argumentas b – teigiamas.

logₐ(xy) = logₐx + logₐy, o logₐ(x/y) = logₐx − logₐy, kai x ir y teigiami.

logₐ(xʳ) = r logₐx, kai x > 0.

Pavyzdys. log₂8 = 3, nes 2³ = 8. Pagrindas yra 2, argumentas 8, rezultatas 3.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Logaritmo nuo sumos negalima išskaidyti: logₐ(x + y) paprastai nėra logₐx + logₐy.

Logaritminėje lygtyje pirma užrašyk sritį, tada naudok savybes, o pabaigoje patikrink gautas šaknis.

Pagrindo keitimas: logₐb = log꜀b / log꜀a. Pagrindui c galioja tos pačios sąlygos: c > 0 ir c ≠ 1.

Išspręstas pavyzdys

Sritis padeda atmesti pašalinę šaknį

Spręsk log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3. Abu argumentai turi būti teigiami: x > 1 ir x > 3, taigi x > 3.

Logaritmų sumą sujunk: log₂((x − 1)(x − 3)) = 3. Pakeisk rodikline lygtimi: (x − 1)(x − 3) = 8.

Atverk skliaustus: x² − 4x + 3 = 8, taigi x² − 4x − 5 = 0. Išskaidęs (x − 5)(x + 1) = 0 gauni kandidatus 5 ir −1.

Sritį x > 3 tenkina tik 5. Pradinėje lygtyje log₂4 + log₂2 = 2 + 1 = 3. Atsakymas x = 5.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 8 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Logaritmo pagrindai

Prieš šią potemę prisimink: Laipsnių savybės.

Išsiaiškink, kokį laipsnio rodiklį nusako logaritmas.

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b=c\iff a^c=b

Logaritmas atsako: kokiu laipsniu reikia pakelti pagrindą a, kad gautum b?

xy−3−2−1123456−3−2−11234560y = 2ˣy = log₂ x(2; 4)(4; 2)
Logaritmas – atvirkštinis veiksmas kėlimui laipsniu: 2² = 4, todėl log₂ 4 = 2. Grafikai simetriški punktyrinės tiesės y = x atžvilgiu.

Pagrindas a > 0 ir a ≠ 1. Argumentas b > 0. Logaritmo reikšmė gali būti ir neigiama.

Gali pasitikrinti atsakymą grįždamas prie laipsnio: jei logaritmas lygus c, tai a pakeltas c laipsniu turi duoti b.

Pavyzdys. log₂ 32 = 5, nes 2⁵ = 32. O log₂(1/8) = −3, nes 2⁻³ = 1/8.

logₐ 1 = 0, nes a⁰ = 1. logₐ a = 1, nes a¹ = a.

Kai 0 < a < 1, didesnis rodiklis duoda mažesnį laipsnį: 8 logaritmas pagrindu 1/2 lygus −3, nes (1/2)⁻³ = 8.

Su skaičiuotuvu
  • Pasirinktinį pagrindą skaičiuok log(8) ÷ log(2) = 3. Skaitiklyje argumentas, vardiklyje pagrindas.
  • Visą argumentą laikyk skliaustuose. Neigiamas argumentas ir nulis neleistini. Patikra: 2³ = 8.

Potemė

Logaritmas skaičiuotuvu

Skaičiuotuvu apskaičiuok logaritmą, kurio pagrindas tenkina logaritmo apibrėžimo sąlygas.

log⁡ab=log⁡blog⁡a\log_a b=\frac{\log b}{\log a}

Logaritmas klausia, kokio laipsnio reikia. Skaičiuotuvo log dažniausiai reiškia pagrindą 10.

1 žingsnislog₂ 202 žingsnislog(20) / log(2)3 žingsnis≈ 4,3219 → 4,32
Apvalink tik galutinę reikšmę iki šimtųjų.

Kai nėra pasirinktinio pagrindo klavišo, skaičiuok log b padalytą iš log a; a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Pagrindo keitimo trupmenos skaitiklyje yra ieškomas argumentas, vardiklyje – pagrindas. Patikra: gautu rodikliu pakėlęs pagrindą turi gauti argumentą.

Pavyzdys. Apskaičiuok log₂ 20. Atsakymą suapvalink iki šimtųjų. Įvedame log(20) ÷ log(2). Suapvalinę iki šimtųjų gauname 4,32.

Nesukeisk argumentų: skaitiklyje turi būti logaritmuojamas skaičius.

Tarpinių logaritmų neapvalink – naudok visą skaičiuotuvo tikslumą.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk log(7) ÷ log(2) = 2,807354922…
  • Patikrink: 2 pakelta Ans turi grąžinti 7. Jei prašoma šimtųjų, rašyk 2,81.

Potemė

Logaritmo savybės

Prieš šią potemę prisimink: Logaritmo pagrindai.

Pritaikyk logaritmų savybes sandaugai, dalmeniui ir laipsniui.

log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

Visur a > 0, a ≠ 1, x > 0 ir y > 0. Sandaugos logaritmas lygus logaritmų sumai.

1 žingsnislog₃ 6 + log₃(9/2)2 žingsnislog₃(6 · 9/2) = log₃ 273 žingsnislog₃ 27 = 3
Kadangi 3³ = 27, logaritmo reikšmė lygi 3.

Dalmeniui: logₐ(x/y) = logₐx − logₐy. Laipsniui: logₐ(xʳ) = r logₐx, kai x > 0.

Šios savybės kyla iš laipsnių taisyklių: dauginant vienodo pagrindo laipsnius jų rodikliai sudedami. Taip lengviau prisiminti, kuriam veiksmui tinka suma.

Pavyzdys. log₃ 6 + log₃(9/2) = log₃(6 · 9/2) = log₃ 27 = 3.

Sumai šios taisyklės nėra: logₐ(x + y) paprastai nelygu logₐx + logₐy.

Pagrindo keitimas: logₐ b = logₖ b / logₖ a, kai k > 0, k ≠ 1. Pavyzdžiui, log₄ 8 = 3/2, nes log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2.

Su skaičiuotuvu
  • Pasirinktinį pagrindą skaičiuok log(8) ÷ log(2) = 3. Skaitiklyje argumentas, vardiklyje pagrindas.
  • Visą argumentą laikyk skliaustuose. Neigiamas argumentas ir nulis neleistini. Patikra: 2³ = 8.

Potemė

Logaritminė funkcija ir sritis

Prieš šią potemę prisimink: Logaritmo pagrindai, Intervalai.

Išnagrinėk logaritminės funkcijos grafiką ir jos apibrėžimo sritį.

f(x)=log⁡ax,D(f)=(0;+∞)f(x)=\log_a x,\quad D(f)=(0;+\infty)

Logaritminės funkcijos argumentas turi būti teigiamas: logₐ g(x) apibrėžtas ten, kur g(x) > 0. Pagrindas a > 0, a ≠ 1.

xy−1135791113−4−3−2−112340x = 5y = log₂(x − 5)(6; 0)
Apibrėžimo sritis x > 5 paryškinta. Tiesė x = 5 – asimptotė, prie kurios grafikas artėja, bet jos nekerta. Nulis x = 6.

Grafikas eina per (1; 0), reikšmių sritis – visi realieji skaičiai. Kai a > 1, funkcija didėja; kai 0 < a < 1 – mažėja.

Sąlyga g(x) > 0 atmeta ir nulį, ir neigiamas reikšmes. Grafiką braižyk tik ties leistinomis x reikšmėmis, bet gali turėti bet kokią y reikšmę.

Pavyzdys. f(x) = log₂(x − 5): x − 5 > 0, todėl x > 5. Grafikas pastumtas 5 vienetais į dešinę; funkcijos nulis x = 6.

Tiesė x = 0 yra f(x) = logₐ x vertikalioji asimptotė. Pastūmus grafiką į dešinę per h, ji tampa x = h.

Jei logaritmas vardiklyje, jis dar turi būti nelygus nuliui: 1/log₂ x reikalauja x > 0 ir x ≠ 1.

Su skaičiuotuvu
  • Pasirinktinį pagrindą skaičiuok log(8) ÷ log(2) = 3. Skaitiklyje argumentas, vardiklyje pagrindas.
  • Visą argumentą laikyk skliaustuose. Neigiamas argumentas ir nulis neleistini. Patikra: 2³ = 8.

Potemė

Pagrindinė logaritmo tapatybė

Supaprastink laipsnį, kurio rodiklyje yra logaritmas.

alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b

Laipsnio ir logaritmo pagrindai turi sutapti.

1 žingsnis3 laipsniu (2 + log₃ 5)2 žingsnis3² · 3 laipsniu log₃ 53 žingsnis9 · 5 = 45
Apskaičiuok likusią sandaugą.

Tapatybė galioja tik tada, kai a > 0, a ≠ 1 ir b > 0.

Logaritmas ir to paties pagrindo kėlimas laipsniu vienas kitą panaikina, panašiai kaip sudėtis ir atimtis. Skirtingų pagrindų taip trumpinti negalima.

Pavyzdys. Apskaičiuok 3 pakelta (2 + log₃ 5) laipsniu. Atskiriame laipsnius: 3² · 3 pakelta log₃ 5 laipsniu. Pagal tapatybę 3 pakelta log₃ 5 laipsniu lygu 5, todėl rezultatas 9 · 5 = 45.

Jei rodiklyje yra suma, pirmiausia atskirk laipsnius: a pakelta (u + v) laipsniu lygu aᵘ · aᵛ.

Skaičiuotuvu tikrink tik pabaigoje: tapatybė leidžia gauti tikslų rezultatą.

Su skaičiuotuvu
  • 2 pakelta (log(5) ÷ log(2)) turi duoti 5.
  • Jei ekrane matai 4,999999…, atpažink apvalinimo paklaidą; remkis tapatybe.

Potemė

Logaritminės lygtys

Prieš šią potemę prisimink: Laipsnių savybės, Logaritmo pagrindai.

Nuo leistinų reikšmių pereik prie lygties sprendimo.

log⁡af(x)=c  ⟺  f(x)=ac\log_a f(x)=c\iff f(x)=a^c

Pirma užrašyk kiekvieno logaritmo argumento sąlygą: jis turi būti teigiamas. Pagrindas teigiamas ir nelygus 1.

1 žingsnislog₃(x − 1) = 32 žingsnisx − 1 = 3³ = 273 žingsnisx = 28 > 1
Gautą reikšmę patikrink pradinėje srityje.

Naudok apibrėžimą arba savybes. Jei pagrindai vienodi, logₐ f(x) = logₐ g(x) reiškia f(x) = g(x), kai abu argumentai teigiami.

Lygties pertvarkymas gali duoti skaičių, kuriam logaritmas neegzistuoja. Todėl gautą reikšmę palygink su pradžioje užrašyta sritimi.

Pavyzdys. log₃(x − 1) = 3. Sritis: x > 1. Tuomet x − 1 = 27, taigi x = 28; jis priklauso sričiai.

Išsprendęs visada patikrink pradinę sritį. Pertvarkyta lygtis gali turėti papildomų šaknų.

Pavyzdžiui, log₂ x + log₂(x − 2) = 3: reikia x > 2. Gauname x(x − 2) = 8, šaknys 4 ir −2; tinka tik 4.

Su skaičiuotuvu
  • Kvadratinei lygčiai x² − 5x + 6 = 0 įvesk (5 + √(25 − 24)) ÷ 2 ir (5 − √(25 − 24)) ÷ 2: gausi 3 ir 2.
  • Jei naudoji EQN / POLY, vis tiek patikrink kiekvieną sprendinį pradinėje lygtyje ir jos srityje.

Potemė

Logaritmas augimo modelyje

Logaritmu apskaičiuok, per kiek laiko pasiekiama nurodyta reikšmė.

t=log⁡(M/C)log⁡at=\frac{\log(M/C)}{\log a}

Iš C · aᵗ = M pirmiausia gauk aᵗ = M/C.

1 žingsnis3 · 2ᵗ ≥ 1002 žingsnist ≥ log₂(100/3) ≈ 5,063 žingsnist=5 → 96; t=6 → 192
Patikrink gretimus sveikuosius: pirmą kartą pakanka po 6 valandų.

Laiką rasi logaritmu; išsiaiškink, ar t gali būti realusis, ar tik sveikas laikotarpių skaičius.

Logaritmas duoda tikslų ribos pasiekimo laiką pagal modelį. Jei laiką skaičiuoji pilnomis valandomis, tikrink gretimus sveikuosius laikus.

Pavyzdys. Pradžioje yra 3 vienetai, kiekis kas valandą dvigubėja. Po kiek pilnų valandų kiekis pirmą kartą bus bent 100? 2ᵗ ≥ 100/3 ≈ 33,3, o log₂ 33,3 ≈ 5,06. Po 5 valandų 3 · 32 = 96 – per mažai; po 6 valandų 3 · 64 = 192 – pakanka. Atsakymas: po 6 valandų. Suapvalinus 5,06 iki sveikojo gautume klaidingą 5.

Jei reikia pirmo pilno laikotarpio, kuriuo riba pasiekta, patikrink gautą sveikąjį ir ankstesnį laikotarpį.

Paprastas apvalinimas iki artimiausio sveikojo gali duoti per ankstyvą laiką.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk log(M ÷ C) ÷ log(a).
  • Jei a > 1 ir rezultatas 4,2, pirmas pilnas laikotarpis 5; patikrink abu gretimus laikotarpius.

Potemė

Logaritminė lygtis su keitiniu

Spręsk logaritmines lygtis keitiniu.

t=log⁡2x,x>0t=\log_2 x,\quad x>0

Jei kartojasi tas pats logaritmas ir jo kvadratas, įvesk naują nežinomąjį.

1 žingsnist = log₂ x; x > 02 žingsnis(t − 1)(t − 17) = 03 žingsnisx = 2 arba 131072
Grįžk prie x: 2¹ = 2 ir 2¹⁷ = 131072.

Išsprendęs lygtį su t grįžk prie x = 2ᵗ.

Keitinys paverčia logaritmų lygtį įprasta kvadratine lygtimi. Vis dėlto galutinis atsakymas turi būti pradinis x, o ne laikinasis t.

Pavyzdys. Išspręsk (log₂ x)² − 18 log₂ x + 17 = 0. Sritis x > 0, keičiame t = log₂x. (t − 1)(t − 17) = 0. t = 1 arba 17; x = 2 arba 131072.

Logaritmo reikšmė t gali būti neigiama, nors x turi būti teigiamas.

Kiekvieną rastą x patikrink pradinėje lygtyje, ne tik keitinio lygtyje.

Su skaičiuotuvu
  • Kvadratinę lygtį spręsk su t; po to skaičiuok 2 pakelta kiekviena t reikšme.
  • Neįrašyk t kaip galutinio x atsakymo.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Laipsniai ir šaknys Lygtys Funkcijos Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Logaritmai

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus