PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis

Funkcijos

Funkcija kiekvienai leistinai argumento reikšmei priskiria vieną funkcijos reikšmę. Mokykis ją apskaičiuoti, skaityti grafiką ir nustatyti apibrėžimo bei reikšmių sritis.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

y=f(x)y=f(x)

Pagrindai

Ką verta žinoti

Apibrėžimo sritis – visos leistinos x reikšmės. Vardiklis negali būti nulis, o kvadratinės šaknies pošaknis turi būti neneigiamas.

Norėdamas rasti f(3), vietoj kiekvieno x įrašyk 3.

Kvadratinės funkcijos f(x) = a(x − h)² + k viršūnė yra (h; k). Kai a > 0, mažiausia reikšmė yra k.

Pavyzdys. Jei f(x) = 2x + 1, tai f(3) = 2 · 3 + 1 = 7.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Grafikas kyla, jei didėjant x didėja f(x). Funkcijos nulis – x reikšmė, kuriai f(x) = 0. Grafike tai taškas, kuriame kreivė kerta arba liečia x ašį.

Išraišką supaprastinus pradiniai srities apribojimai išlieka. Pavyzdžiui, (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 tik tada, kai x ≠ 1.

Išspręstas pavyzdys

Supaprastinimas nepanaikina srities apribojimo

Nagrinėk f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Pradinis vardiklis negali būti nulis, todėl x ≠ 2.

Skaitiklį išskaidyk: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Kai x ≠ 2, bendrą daugiklį galima sutrumpinti.

Gauname f(x) = x + 2, tačiau tik pradinėje srityje. Grafikas sutampa su tiese y = x + 2, išskyrus tašką (2; 4), kuris jam nepriklauso.

Patikrink leistiną reikšmę: f(3) = (9 − 4)/(3 − 2) = 5. Reikšmės f(2) pradinė formulė neturi.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 11 potemių. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Argumentas ir funkcijos reikšmė

Apskaičiuok funkcijos reikšmę, įrašydamas argumentą į formulę.

y=f(x)y=f(x)

Argumentas x yra reikšmė, kurią įrašai į funkcijos formulę, o f(x) – apskaičiuota funkcijos reikšmė.

1 žingsnisf(x) = 3x² + 12 žingsnisf(−2) = 3 · (−2)² + 13 žingsnis3 · 4 + 1 = 13
Pirma kelk kvadratu, tada daugink ir sudėk.

Vietoje kiekvieno x įrašyk tą patį skaičių; neigiamą skaičių rašyk skliaustuose.

f(−2) reiškia reikšmę ties x = −2, o ne f kart −2. Skliaustai ypač svarbūs keliant neigiamą argumentą kvadratu.

Pavyzdys. Duota f(x) = 3x² + 1. Rask f(−2). Įrašome x = −2. f(−2) = 3 · 4 + 1 = 13.

Pirmiausia atlik veiksmus skliaustuose, tada kelk laipsniu.

Taškas (a; b) priklauso grafikui tik tada, jei f(a) = b.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk 3 × (−2)² + 1 =. Rezultatas 13.
  • Neigiamam argumentui naudok skliaustus: (−2)² = 4, bet −2² = −4.

Potemė

Funkcijos apibrėžimo sritis

Rask visas x reikšmes, su kuriomis reiškinys turi prasmę.

g(x): g(x)≥0,1h(x): h(x)≠0\sqrt{g(x)}:\ g(x)\geq0,\qquad \frac1{h(x)}:\ h(x)\ne0

Apibrėžimo sritis – visos leistinos x reikšmės. Vardiklis negali būti nulis, kvadratinės šaknies pošaknis negali būti neigiamas.

x−42x ≥ −4x ≠ 2D(f)
Abi sąlygos turi galioti kartu: D(f) = [−4; 2) ∪ (2; +∞). Užpildytas skritulys – taškas įtrauktas, tuščias – ne.

Jei sąlygų kelios, jos turi galioti kartu: rask jų sankirtą. Atsakymą užrašyk intervalu arba intervalų sąjunga.

Kiekviena formulės dalis nustato leistinas x reikšmes. Apibrėžimo sričiai priklauso tik tos reikšmės, kurios tenkina visas sąlygas vienu metu.

Pavyzdys. f(x) = √(x + 4)/(x − 2): reikia x ≥ −4 ir x ≠ 2, todėl D(f) = [−4; 2) ∪ (2; +∞).

Jei šaknis vardiklyje, pošaknis turi būti griežtai teigiamas.

Sutrumpinus trupmeną pradinės sąlygos lieka. (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 tik tada, kai x ≠ 1.

Su skaičiuotuvu
  • Įrašyk argumento reikšmę su skliaustais. Pavyzdžiui, 2 × (−3)² − 1 = 17.
  • Jei turi TABLE, patikrink kelis taškus. Lentelė neįrodo visos srities ar visų funkcijos savybių.

Potemė

Funkcijos grafiko tyrimas

Prieš šią potemę prisimink: Funkcijos apibrėžimo sritis.

Skaityk reikšmes, nulius ir kitimą iš grafiko.

f(x)=0– funkcijos nuliaif(x)=0\quad\text{– funkcijos nuliai}

f(x) reikšmę skaityk vertikaliai: pasirink x, rask grafiko tašką ir jo y koordinatę. Funkcijos nulis yra x, kuriam y = 0.

xy−1123456−6−4−22460f(x) = 2x − 6nulis x = 3f(4) = 2
f(4) skaitome vertikaliai: nuo x = 4 iki grafiko – aukštis 2. Kai x > 3 (paryškinta), grafikas virš x ašies, todėl f(x) > 0.

Grafikas virš x ašies reiškia f(x) > 0, žemiau – f(x) < 0. Didėjimą vertink judėdamas iš kairės į dešinę.

Taškas (a; b) ant grafiko reiškia f(a) = b. Nuliai skaitomi ten, kur grafikas susitinka su horizontaliąja x ašimi, o ne su y ašimi.

Pavyzdys. f(x) = 2x − 6: f(4) = 2, nulis x = 3. Kai x > 3, reikšmės teigiamos. Funkcija didėja, nes nuolydis 2 > 0.

Nesupainiok apibrėžimo srities (x reikšmių) ir reikšmių srities (y reikšmių).

Grafiko aukščiausias ar žemiausias taškas rodo ekstremumą. Jei galinis taškas neįtrauktas, jo reikšmė gali būti tik riba, o ne pasiekiamas maksimumas.

Su skaičiuotuvu
  • Įrašyk argumento reikšmę su skliaustais. Pavyzdžiui, 2 × (−3)² − 1 = 17.
  • Jei turi TABLE, patikrink kelis taškus. Lentelė neįrodo visos srities ar visų funkcijos savybių.

Potemė

Kvadratinė funkcija

Prieš šią potemę prisimink: Kvadratinės lygtys.

Rask parabolės viršūnę, nustatyk šakų kryptį ir funkcijos reikšmių sritį.

f(x)=a(x−h)2+k,a≠0f(x)=a(x-h)^2+k,\quad a\ne0

Viršūnė yra (h; k), simetrijos ašis x = h. Kai a > 0, šakos nukreiptos aukštyn; kai a < 0 – žemyn.

xy−11234567−6−4−224680x = 3viršūnė (3; −5)
a = 2 > 0, todėl šakos aukštyn ir mažiausia reikšmė yra viršūnėje: reikšmių sritis [−5; +∞).

Forma ax² + bx + c duoda viršūnės x koordinatę −b/(2a). Įstatęs ją į funkciją rasi y koordinatę.

Viršūnė yra parabolės posūkio taškas. Todėl jos y koordinatė yra mažiausia arba didžiausia funkcijos reikšmė, jei nagrinėjama visa realiųjų skaičių sritis.

Pavyzdys. f(x) = 2(x − 3)² − 5: viršūnė (3; −5). Mažiausia reikšmė −5, todėl reikšmių sritis [−5; +∞).

Nulius rask spręsdamas f(x) = 0. Jų gali būti du, vienas arba nė vieno.

Kai a > 0, funkcija mažėja iki viršūnės ir didėja po jos. Kai a < 0, kitimas priešingas.

Su skaičiuotuvu
  • Įrašyk argumento reikšmę su skliaustais. Pavyzdžiui, 2 × (−3)² − 1 = 17.
  • Jei turi TABLE, patikrink kelis taškus. Lentelė neįrodo visos srities ar visų funkcijos savybių.

Potemė

Lyginumas ir simetrija

Patikrink, ar funkcija lyginė, nelyginė, ar nei tokia, nei tokia.

f(−x)=f(x)arbaf(−x)=−f(x)f(-x)=f(x)\quad\text{arba}\quad f(-x)=-f(x)

Lyginės funkcijos grafikas simetriškas y ašies atžvilgiu; nelyginės – koordinačių pradžios atžvilgiu.

xy−3−2−1123−6−4−22460(−1; 3)(1; −3)
Taškai (1; −3) ir (−1; 3) simetriški koordinačių pradžios atžvilgiu: f(−x) = −f(x).

Pirmiausia patikrink, ar su kiekvienu x sričiai priklauso ir −x.

Simetriją tikrink poromis x ir −x. Jei abiem argumentams funkcija apibrėžta, lyginei reikšmės sutampa, nelyginei yra priešingos.

Pavyzdys. Funkcija f(x) = x³ − 4x yra nelyginė, f(3) = 15. Rask f(−3). Nelyginei funkcijai f(−3) = −f(3) = −15. Patikra: (−3)³ − 4 · (−3) = −27 + 12 = −15.

Vien sutampančių reikšmių poros nepakanka lyginumui įrodyti: tikrink bendrą reiškinį.

Funkcija, kurios reiškinyje yra ir lyginių, ir nelyginių laipsnių, paprastai nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrai apskaičiuok f(2) ir f(−2).
  • Ši patikra gali paneigti spėjimą; įrodymui reikia f(−x) pertvarkymo.

Potemė

Grafiko poslinkiai ir atspindžiai

Suprask, kaip formulės pakeitimai perkelia ir atspindi grafiką.

g(x)=af(x−h)+kg(x)=a f(x-h)+k

Forma f(x − h) perkelia grafiką h vienetų į dešinę; +k išorėje – k vienetų aukštyn.

xy−3−2−1123456−3−2−11234560f(x) = x²g(x)3 → , 2 ↓
g(x) = f(x − 3) − 2: kiekvienas taškas, taip pat ir viršūnė, pasislenka 3 vienetais į dešinę ir 2 žemyn.

Daugiklis a išorėje keičia y koordinates; neigiamas a dar atspindi grafiką x ašies atžvilgiu.

Poslinkis skliaustų viduje veikia x priešinga kryptimi nei rodo ženklas. Patikrink sekdamas vieną žinomą grafiko tašką į naują vietą.

Pavyzdys. Žinoma f(2) = 5. Jei g(x) = 2f(x + 1) − 3, rask g(1). Vidinis argumentas 1 + 1 = 2: grafikas pastumtas 1 vienetu į kairę. g(1) = 2 · 5 − 3 = 7.

Taškas (u; v) virsta tašku (u + h; av + k).

Poslinkis argumento viduje nekeičia funkcijos reikšmių srities; poslinkis išorėje ją perkelia.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink vieną žinomą tašką: jei f(2) = 5, tai 2f(x − 3) + 1 ties x = 5 duoda 2 × 5 + 1 = 11.
  • Lentelė padeda pasitikrinti taškus, bet poslinkio kryptį nusakyk formule.

Potemė

Laipsninė ir šaknies funkcijos

Išnagrinėk šaknies ir laipsninių funkcijų grafikus bei apibrėžimo sritis.

y=axy=a\sqrt{x}

Kvadratinės šaknies funkcijai reikia x ≥ 0. Kubinė šaknis apibrėžta su visais realiaisiais skaičiais.

xy−112345678910−1123456789100y = 3√xy = √x(4; 6)
Abu grafikai prasideda taške (0; 0), nes reikia x ≥ 0. Daugiklis 3 ištempia grafiką aukštyn: y = 3√x eina per (4; 6).

Formulės koeficientą rask įrašęs žinomo grafiko taško koordinates.

Kvadratinės šaknies grafikas prasideda ties srities riba, o kubinės šaknies grafikas tęsiasi ir į neigiamų x pusę. Taško koordinatės padeda rasti mastelį.

Pavyzdys. Funkcijos y = a√x grafikas eina per tašką (4; 6). Rask y, kai x = 25. Iš 6 = a · √4 = 2a gauname a = 3. Tada y(25) = 3 · √25 = 3 · 5 = 15.

Jei daugiklis neigiamas, šaknies grafikas atspindimas x ašies atžvilgiu.

Laipsnių x² ir x³ grafikai skiriasi simetrija: pirmasis lyginis, antrasis nelyginis.

Su skaičiuotuvu
  • Koeficientui rasti įvesk y ÷ √(x). Tada su rastu koeficientu apskaičiuok kitą reikšmę.
  • √(9) = 3; nereikia rašyti ±3, kai skaičiuoji funkcijos reikšmę.

Potemė

Rodiklinis augimas ir mažėjimas

Atpažink rodiklinį augimą ir mažėjimą.

f(x)=Caxf(x)=C a^x

Kai a > 1, teigiama pradinė reikšmė auga; kai 0 < a < 1, ji mažėja.

xy−3−2−1123123456780y = 2ˣy = (1/2)ˣ
Kai a > 1, funkcija didėja; kai 0 < a < 1 – mažėja. Abu grafikai eina per (0; 1) ir visada yra virš x ašies.

Vienodi argumento pokyčiai reiškia tą patį dauginimo koeficientą, o ne tą patį prieaugį.

Pradinį kiekį rodo reikšmė ties t = 0, nes a⁰ = 1. Kiekviena papildoma valanda daugina ankstesnį kiekį iš a.

Pavyzdys. Kolonijoje yra 200 bakterijų, kas valandą jų padaugėja 3 kartus. Kiek bakterijų bus po 4 valandų? Modelis f(t) = 200 · 3ᵗ, pradžia t = 0. f(4) = 200 · 3⁴ = 200 · 81 = 16 200.

Iš f(0) rasi C, o iš dviejų gretimų reikšmių santykio – a.

Prieš skaičiuodamas atskirk laiką nuo matavimų skaičiaus: pradinė reikšmė atitinka t = 0.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk pradinę reikšmę × koeficientas laipsniu laikas.
  • Pvz., 80 × (1,05)³; apvalink tik galutinį rezultatą.

Potemė

Modelis, apribojimai ir didžiausia reikšmė

Aprašyk situaciją funkcija ir rask didžiausią jos reikšmę.

S(x)=x(p−x)S(x)=x(p-x)

Situaciją aprašyk formule ir užrašyk prasmingų argumento reikšmių intervalą.

xy−0,50,511,522,5−0,50,511,50S = x(2 − x)S max = 1
Prasmingos tik 0 < x < 2 (paryškinta). Viršūnė x = 1 šiame intervale, todėl didžiausias plotas 1 cm² – kvadratas.

Kvadratinės funkcijos didžiausią reikšmę rask viršūnėje, jei šakos nukreiptos žemyn ir viršūnė priklauso sričiai.

Matematinis sprendinys prasmingas tik situacijos ribose. Net jei parabolės viršūnė duoda ekstremumą, patikrink, ar toks kraštinės ilgis įmanomas.

Pavyzdys. Stačiakampio perimetras 4 cm. Viena kraštinė x. Rask didžiausią galimą plotą cm². Kraštinių suma 2, todėl S = x(2 − x), 0 < x < 2. Parabolės viršūnė x = 1, ji priklauso sričiai. Didžiausias plotas 1 · 1 = 1 cm².

Jei viršūnė nepatenka į leistiną intervalą, palygink galų reikšmes.

Užrašyk, ką reiškia rezultatas: ilgį, plotą ar kiekį. Išvestinės čia nereikia.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink viršūnę ir abu leistino intervalo galus skaičiuotuvu.
  • Sandaugą x × (p − x) įvesk su skliaustais; vien keli lentelės taškai maksimumo neįrodo.

Potemė

Sudėtinės funkcijos

Apskaičiuok sudėtinės funkcijos reikšmę tinkama veiksmų tvarka.

(f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x))

Pirmiausia apskaičiuok vidinę funkciją g, tada jos reikšmę įrašyk į f.

1 žingsnisg(1) = 2 · 1 + 1 = 32 žingsnisf(g(1)) = f(3)3 žingsnisf(3) = 3² − 1 = 8
Tik tada apskaičiuok galutinę reikšmę.

Vidinės funkcijos rezultatas turi priklausyti išorinės funkcijos apibrėžimo sričiai.

Rašyba f(g(x)) rodo tvarką iš vidaus į išorę. g(x) rezultatas tampa nauju f argumentu; sukeisti f ir g dažniausiai negalima.

Pavyzdys. f(x) = x² − 1, g(x) = 2x + 1. Rask f(g(1)). g(1) = 3. f(3) = 3² − 1 = 8.

Paprastai f(g(x)) ir g(f(x)) nėra tas pats.

Sričiai rasti neužtenka tik D(g): patikrink ir g(x) ∈ D(f).

Su skaičiuotuvu
  • Apskaičiuok vidinę išraišką, tada naudok Ans išorinėje.
  • Jei g(3) = 7 ir f(t) = t² − 1, įvesk Ans² − 1 = 48.

Potemė

Funkcijos riba: artėjimas prie taško

Suprask, prie kokios reikšmės artėja funkcijos reikšmės, kai argumentas artėja prie pasirinkto taško.

lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x)

Riba nusako, prie kokios reikšmės artėja f(x), kai x artėja prie pasirinkto taško.

xy−2−11234−1123450y = (x² − 1)/(x − 1)(1; 2)
Taške x = 1 funkcija neapibrėžta (tuščias skritulys), bet iš abiejų pusių reikšmės artėja prie 2.

Funkcijos reikšmė taške ir riba nėra tas pats: taške funkcija gali būti neapibrėžta.

Artėjant prie taško svarbios netoliese esančios reikšmės. Todėl skylė grafike gali panaikinti f(a), bet nepanaikinti ribos ties a.

Pavyzdys. Rask ribą, kai x artėja prie 1: (x² − 1)/(x − 1). x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Kai x ≠ 1, trupmena lygi x + 1. Todėl riba lygi 2.

Jei skaitiklis ir vardiklis artėja prie nulio, pirmiausia skaidyk dauginamaisiais ir trumpink, kai x ≠ a.

Lentelė padeda pamatyti artėjimą, o algebrinis pertvarkymas pagrindžia tikslią ribą. Tai įvadas į ribą, be išvestinių.

Su skaičiuotuvu
  • Ribai ties x = 3 tikrink x = 2,99 ir x = 3,01.
  • Neįvesk x = 3 į reiškinį su vardikliu x − 3: gautum dalybą iš nulio.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Lygtys Nelygybės Išvestinės Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Funkcijos

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus