PliusMinus Pradėti nemokamai

12 klasė · A ir B kursai · VBE II dalis

Briaunainiai ir sukiniai

Mokykis apskaičiuoti briaunainių ir sukinių tūrius bei paviršiaus plotus. Atskirai atpažink aukštinę, apotemą ir sudaromąją, kad pasirinktum reikiamus ilgius.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

Vprizme˙s=Sph,Vpiramide˙s=13Sph,Vrutulio=43πR3V_{\text{prizmės}}=S_ph,\quad V_{\text{piramidės}}=\tfrac13S_ph,\quad V_{\text{rutulio}}=\tfrac43\pi R^3

Pagrindai

Ką verta žinoti

Prizmės ir ritinio tūris – pagrindo plotas kart aukštinė.

Piramidės ir kūgio tūris – trečdalis tos sandaugos.

Kūgiui: tūriui reikia h, šoniniam paviršiui – l.

Pavyzdys. Kūgis r = 3, h = 4: l = 5, V = 12π, visas paviršius π · 3 · 8 = 24π.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Panašių kūnų plotai santykiauja k², tūriai – k³.

Rutulio pjūvio spindulys ρ = √(R² − d²).

Išspręstas pavyzdys

Pjūvis per aukštinės vidurį

Kūgį perpjauna pagrindui lygiagreti plokštuma per aukštinės vidurį.

Mažasis kūgis panašus į didįjį, mastelis k = 1/2.

Tūrių santykis (1/2)³ = 1/8.

Nupjautinio kūgio tūris sudaro 7/8 viso kūgio.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 7 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Prizmės: tūris ir paviršius

Apskaičiuok stačiosios prizmės ir gretasienio tūrį bei viso paviršiaus plotą.

V=Spagr⋅h,Sviso=Ssˇon+2SpagrV=S_{\text{pagr}}\cdot h,\qquad S_{\text{viso}}=S_{\text{šon}}+2S_{\text{pagr}}

Stačiosios prizmės tūris lygus pagrindo plotui, padaugintam iš aukštinės.

234ABCDA₁B₁C₁D₁
Tūris V = 2 · 3 · 4 = 24. Paviršių sudaro trys poros sienų: 2(6 + 12 + 8) = 52.

Šoninis paviršius – pagrindo perimetras kart aukštinė; visam paviršiui pridėk du pagrindus.

Pavyzdys. Stačiakampio gretasienio briaunos 2, 3 ir 4. Tūris 2 · 3 · 4 = 24, paviršius 2(6 + 12 + 8) = 52.

Taisyklingosios trikampės prizmės pagrindas – lygiakraštis trikampis, jo plotas a²√3/4.

Prizmės tūryje nėra daugiklio 1/3 – jis atsiranda tik piramidėje.

Vienetai: tūris – kubiniai (cm³), plotas – kvadratiniai (cm²).

Su skaičiuotuvu
  • Trikampės prizmės tūriui įvesk 4² × √3 ÷ 4 × 3.
  • Tikslų atsakymą su √3 palik tikslų; skaičiuotuvu patikrink tik apytiksliai.

Potemė

Ritinys

Apskaičiuok ritinio tūrį, paviršiaus plotą ir panaudok ašinį pjūvį.

V=πr2h,Ssˇon=2πrh,Sviso=2πr(r+h)V=\pi r^2h,\qquad S_{\text{šon}}=2\pi rh,\qquad S_{\text{viso}}=2\pi r(r+h)

Ritinio tūris – pagrindo skritulio plotas πr² kart aukštinė h.

r = 3h = 4OO₁AA₁
Tūris – pagrindo skritulio plotas kart aukštinė: π · 9 · 4 = 36π.

Išklotinėje šoninis paviršius yra stačiakampis, kurio kraštinės 2πr ir h.

Pavyzdys. r = 3, h = 4. V = π · 9 · 4 = 36π. S = 2π · 3 · (3 + 4) = 42π.

Ašinis pjūvis – stačiakampis, kurio kraštinės 2r ir h; jei jis kvadratas, h = 2r.

Atsakymą palik su π, jei nepaprašyta apvalinti.

Visame paviršiuje yra du pagrindai: 2πr².

Su skaičiuotuvu
  • Apytiksliai: 36π ≈ 113,1. Įvesk 36 × π.
  • Apvalink tik galutinį rezultatą.

Potemė

Taisyklingoji piramidė

Apskaičiuok taisyklingosios piramidės tūrį, apotemą ir viso paviršiaus plotą.

V=13Spagrh,Ssˇon=12Ppagr⋅haV=\tfrac13S_{\text{pagr}}h,\qquad S_{\text{šon}}=\tfrac12P_{\text{pagr}}\cdot h_a

Piramidės tūris lygus trečdaliui pagrindo ploto ir aukštinės sandaugos.

h = 4hₐ = 5ABCDSK
Tūriui reikia aukštinės: V = 36 · 4/3 = 48. Šoniniam paviršiui – apotemos: 4 · 6 · 5/2 = 60.

Taisyklingosios piramidės šoninis paviršius – pusė pagrindo perimetro kart apotema.

Pavyzdys. Pagrindo kraštinė 6, aukštinė 4. Tūris 36 · 4/3 = 48. Apotema √(16 + 9) = 5, šoninis paviršius 24 · 5/2 = 60, visas 60 + 36 = 96.

Apotema nėra aukštinė: apotema – šoninės sienos aukštinė, ji ilgesnė už piramidės aukštinę.

Kai žinomas tūris ir pagrindas, aukštinė h = 3V/S_pagr.

Visame paviršiuje yra tik vienas pagrindas – piramidė neturi viršutinio pagrindo.

Su skaičiuotuvu
  • Tūriui įvesk 6² × 4 ÷ 3 = 48.
  • Apotemai įvesk √(4² + 3²) = 5.

Potemė

Kūgis

Apskaičiuok kūgio tūrį ir paviršiaus plotą, atskirdamas aukštinę nuo sudaromosios.

l2=r2+h2,V=13πr2h,Ssˇon=πrll^2=r^2+h^2,\quad V=\tfrac13\pi r^2h,\quad S_{\text{šon}}=\pi rl

Kūgio aukštinė h, spindulys r ir sudaromoji l sudaro statųjį trikampį, kurio įžambinė l.

h = 4r = 3l = 5SOA
Aukštinė, spindulys ir sudaromoji sudaro statųjį trikampį: l = √(9 + 16) = 5. Tūriui reikia h, šoniniam paviršiui – l.

Tūriui reikia aukštinės h, šoniniam paviršiui – sudaromosios l.

Pavyzdys. r = 3, h = 4. l = √(9 + 16) = 5. V = π · 9 · 4/3 = 12π. Šoninis πrl = 15π, pagrindas 9π, visas 24π.

Šoninio paviršiaus išklotinė – skritulio išpjova, kurios spindulys l, o lanko ilgis 2πr.

Išpjovos kampas α = 360° · r/l.

Ašinis pjūvis – lygiašonis trikampis, kurio šoninės kraštinės l ir pagrindas 2r.

Su skaičiuotuvu
  • Tūriui įvesk π × 3² × 4 ÷ 3.
  • Sudaromąją skaičiuok √(3² + 4²).

Potemė

Rutulys ir sfera

Apskaičiuok rutulio tūrį, sferos plotą ir rutulio pjūvio plotą.

V=43πR3,S=4πR2,ρ2+d2=R2V=\tfrac43\pi R^3,\qquad S=4\pi R^2,\qquad \rho^2+d^2=R^2

Rutulio tūris 4πR³/3, sferos (paviršiaus) plotas 4πR².

R = 5d = 3ρ = 4OO₁A
Rutulio spindulys, atstumas iki pjūvio ir pjūvio spindulys sudaro statųjį trikampį: ρ = √(25 − 9) = 4, pjūvio plotas 16π.

Plokštuma kerta rutulį skrituliu; jo spindulys ρ = √(R² − d²), kur d – atstumas nuo centro.

Pavyzdys. R = 5, pjūvis nutolęs 3 nuo centro. ρ = √(25 − 9) = 4, pjūvio plotas 16π.

Didžiausias pjūvis eina per centrą – tai didysis skritulys, kurio spindulys R.

Kube įbrėžto rutulio spindulys lygus pusei briaunos.

Tūris ir plotas turi skirtingus vienetus, net jei skaičiai sutampa (R = 3: 36π cm³ ir 36π cm²).

Su skaičiuotuvu
  • Tūriui įvesk 4 × π × 5³ ÷ 3.
  • Pjūvio spinduliui įvesk √(5² − 3²).

Potemė

Nupjautiniai kūnai ir rutulio nuopjova

Apskaičiuok nupjautinio kūgio, nupjautinės piramidės ir rutulio nuopjovos tūrį.

Vnk=13πh(R2+Rr+r2),Vnp=13h(S1+S1S2+S2),Vnuop=πh2(R−h3)V_{\text{nk}}=\tfrac13\pi h(R^2+Rr+r^2),\quad V_{\text{np}}=\tfrac13h(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2),\quad V_{\text{nuop}}=\pi h^2\left(R-\tfrac h3\right)

Nupjautinis kūgis – tai didelis kūgis be mažo viršutinio kūgio; formulė tai apjungia į vieną.

R = 5r = 2h = 4OO₁AA₁
Nupjautinio kūgio tūris V = π · 4 · (25 + 10 + 4)/3 = 52π.

Nupjautinės piramidės formulėje yra abiejų pagrindų plotai ir jų geometrinis vidurkis.

Pavyzdys. R = 5, r = 2, h = 4. V = π · 4 · (25 + 10 + 4)/3 = 52π.

Rutulio nuopjovos, kurios aukštis h, tūris πh²(R − h/3); sferinio gaubto plotas 2πRh.

Formulę galima patikrinti: kai r = 0, gauni paprasto kūgio tūrį.

Pagrindų vidurkis kart aukštinė nėra teisingas tūris – trūksta nario Rr.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk π × 4 × (5² + 5 × 2 + 2²) ÷ 3.
  • Rezultatą palyginti su 52 × π ≈ 163,4.

Potemė

Kūnų pjūviai ir panašumas

Sužinok, kaip pagrindui lygiagretus pjūvis keičia plotą ir tūrį, ir kaip naudoti ašinį pjūvį.

S1S2=k2,V1V2=k3\frac{S_1}{S_2}=k^2,\qquad \frac{V_1}{V_2}=k^3

Pagrindui lygiagretus pjūvis nukerta mažą panašią piramidę ar kūgį.

ABCDS
Pjūvis per aukštinės vidurį nukerta panašią piramidę su masteliu 1/2. Jos tūris sudaro (1/2)³ = 1/8 viso tūrio.

Jei ilgių santykis k, plotų santykis k², tūrių – k³.

Pavyzdys. Pjūvis eina per aukštinės vidurį: k = 1/2. Mažosios piramidės tūris sudaro (1/2)³ = 1/8 viso tūrio.

Mastelis k skaičiuojamas nuo viršūnės: atstumas iki pjūvio padalytas iš visos aukštinės.

Ašinis pjūvis per kūgio ašį – lygiašonis trikampis su pagrindu 2r ir aukštine h.

Jei ašinis pjūvis – statusis lygiašonis trikampis, tai h = r.

Su skaičiuotuvu
  • Tūrio dalį skaičiuok (1 ÷ 3)³ = 0,037… = 1/27.
  • Patikrink, ar pakėlei teisingu laipsniu.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Stereometrija: tiesės, plokštumos ir kampai Trigonometrija Integralai Šios temos formulės Matematika 12 klasei Visos temos

Briaunainiai ir sukiniai

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus