PliusMinus Pradėti nemokamai

12 klasė · A kursas · VBE II dalis

Integralai

Mokykis rasti pirmykštes funkcijas ir taikyti integravimo taisykles. Nagrinėk Niutono ir Leibnico formulę, skaičiuok plokščiųjų figūrų plotus ir sukinių tūrius.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

∫abf(x) dx=F(b)−F(a),S=∫ab(f(x)−g(x))dx\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad S=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)dx

Pagrindai

Ką verta žinoti

Pirmykštė F tenkina F′ = f; visos pirmykštės skiriasi konstanta C.

Apibrėžtinis integralas – skaičius F(b) − F(a).

Geometrinis plotas visada neneigiamas.

Pavyzdys. ∫ nuo 1 iki 3 2x dx = [x²] nuo 1 iki 3 = 9 − 1 = 8.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Plotui tarp grafikų integruok „viršutinė minus apatinė“ nuo vieno susikirtimo iki kito.

Sukinio tūris V = π∫f²(x) dx.

Išspręstas pavyzdys

Kodėl plotui reikia modulio

Nagrinėk y = x − 1 intervale [0; 2].

Integralas ∫ nuo 0 iki 2 (x − 1) dx = 0.

Bet figūra sudaryta iš dviejų trikampių po 1/2.

Plotas lygus 1: neigiamą dalį imame su minusu.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 6 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Pirmykštė funkcija

Rask funkcijos pirmykštę ir iš sąlygos nustatyk konstantą C.

F′(x)=f(x),∫xn dx=xn+1n+1+C (n≠−1)F'(x)=f(x),\qquad \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1)

Pirmykštė F – funkcija, kurios išvestinė lygi f: pirmykštės ieškoma „atvirkščiai diferencijuojant“.

xy−2−112−44812160C = 7(1; 5)
Visos pirmykštės skiriasi tik poslinkiu aukštyn ar žemyn. Sąlyga F(1) = 5 išrenka vienintelę: C = 7.

Visos pirmykštės skiriasi konstanta C; taškas, per kurį eina grafikas, nusako vienintelę C.

Pavyzdys. f(x) = 6x² − 4, F(1) = 5. F(x) = 2x³ − 4x + C; 2 − 4 + C = 5, todėl C = 7 ir F(x) = 2x³ − 4x + 7.

Laipsnio pirmykštė: rodiklį padidink vienetu ir padalyk iš naujo rodiklio.

Atsakymą visada gali patikrinti diferencijuodamas: (2x³ − 4x + 7)′ = 6x² − 4.

Konstanta C atsiranda todėl, kad konstantos išvestinė lygi nuliui.

Su skaičiuotuvu
  • Radęs C, įstatyk duotą tašką ir patikrink, ar gauni sąlygoje nurodytą reikšmę.
  • Integralo mygtukas (∫dx) skaičiuoja apibrėžtinį integralą; pirmykštę rask pats.

Potemė

Neapibrėžtinis integralas ir integravimo taisyklės

Integruok laipsnines, trigonometrines, rodiklines funkcijas ir funkcijas su tiesiniu vidiniu argumentu.

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C, ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C, ∫exdx=ex+C, ∫dxx=ln⁡∣x∣+C, ∫f(ax+b) dx=1aF(ax+b)+C\int\cos x\,dx=\sin x+C,\ \int\sin x\,dx=-\cos x+C,\ \int e^x dx=e^x+C,\ \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\ \int f(ax+b)\,dx=\tfrac1aF(ax+b)+C

Neapibrėžtinis integralas ∫f(x) dx – visų pirmykščių šeima F(x) + C.

Ieškome∫cos 5x dxPirmykštėF(x) = sin(5x)/5 + CPatikraF′(x) = 5cos(5x)/5
Gauta cos 5x, kaip ir pradžioje. Konstantos išvestinė lygi nuliui.

Sinuso pirmykštė turi minusą: ∫sin x dx = −cos x + C; kosinuso – ne: ∫cos x dx = sin x + C.

Pavyzdys. ∫(3x + 2)² dx. Vidinis argumentas 3x + 2, jo koeficientas 3. ∫ = (3x + 2)³/(3 · 3) + C = (3x + 2)³/9 + C.

Jei argumentas ax + b, integruok kaip įprastai ir padalyk iš a – taip atsveriamas vidinės išvestinės daugiklis.

Šaknis integruok kaip laipsnius: ∫√x dx = (2/3)x√x + C.

Kiekvieną rezultatą patikrink diferencijuodamas.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink skaitiniu būdu: F(1) − F(0) turi sutapti su ∫ nuo 0 iki 1 reikšme skaičiuotuve.
  • Trigonometrinėms funkcijoms naudok RAD režimą.

Potemė

Apibrėžtinis integralas: Niutono ir Leibnico formulė

Prieš šią potemę prisimink: Pirmykštė funkcija.

Apskaičiuok apibrėžtinį integralą taikydamas pirmykštę funkciją ir rask nežinomą integravimo rėžį.

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Apibrėžtinis integralas yra skaičius: pirmykštės reikšmė viršutiniame rėžyje minus reikšmė apatiniame.

xy−0,50,511,522,5246810120S = 8y = 3x²
Pirmykštė x³, todėl ∫ nuo 0 iki 2 3x² dx = 8 − 0 = 8. Integralas lygus užtušuotam plotui.

Konstanta C čia nereikalinga – skaičiuojant skirtumą ji išnyksta.

Pavyzdys. ∫ nuo 0 iki 2 3x² dx = [x³] nuo 0 iki 2 = 8 − 0 = 8.

Atimk visą F(a) reikšmę skliaustuose: F(b) − F(a), net jei F(a) neigiama.

Integralas gali būti neigiamas ar lygus nuliui: sritys po Ox įskaičiuojamos su minusu.

Kai rėžis nežinomas, gaunama lygtis to rėžio atžvilgiu.

Su skaičiuotuvu
  • Daugelis mokyklinių skaičiuotuvų turi ∫dx: įvesk funkciją ir rėžius patikrai.
  • Trigonometrinėms funkcijoms būtinas RAD režimas.

Potemė

Kreivinės trapecijos plotas

Prieš šią potemę prisimink: Apibrėžtinis integralas: Niutono ir Leibnico formulė.

Apskaičiuok plotą tarp funkcijos grafiko ir Ox ašies, įvertindamas, kur funkcija keičia ženklą.

S=∫ab∣f(x)∣ dxS=\int_a^b|f(x)|\,dx

Kai f(x) ≥ 0 intervale [a; b], kreivinės trapecijos plotas lygus ∫ nuo a iki b f(x) dx.

xy1232468100S = 9y = x²
Funkcija intervale [0; 3] neneigiama, todėl plotas lygus integralui: [x³/3] nuo 0 iki 3 = 9.

Plotas negali būti neigiamas: kur grafikas žemiau Ox, imk integralą su minusu.

Pavyzdys. Plotas po y = x² intervale [0; 3]: ∫ nuo 0 iki 3 x² dx = [x³/3] = 9.

Jei funkcija keičia ženklą, intervalą padalyk ties nuliais ir sudėk atskirų dalių plotus.

Parabolės y = −(x − p)(x − q) ir Ox ribojamos figūros plotas lygus (q − p)³/6.

Pirmiausia nubraižyk eskizą – jis parodo, kur funkcija neigiama.

Su skaičiuotuvu
  • Plotą patikrink skaičiuotuvu su |f(x)| arba sudėdamas dalių integralus.
  • Jei gavai 0 ar neigiamą skaičių, greičiausiai reikia modulio.

Potemė

Plotas tarp dviejų kreivių

Prieš šią potemę prisimink: Kreivinės trapecijos plotas.

Rask grafikų susikirtimo taškus ir apskaičiuok jų ribojamos figūros plotą. Iš aukščiau esančio grafiko funkcijos reikšmių atimk žemiau esančio grafiko funkcijos reikšmes.

S=∫ab(f(x)−g(x)) dx,f(x)≥g(x)S=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx,\quad f(x)\ge g(x)

Pirmiausia rask grafikų susikirtimo taškus – jie bus integravimo rėžiai.

xy0,510,510y = xy = x²
Grafikai kertasi ties 0 ir 1, tarp jų tiesė aukščiau. Plotas ∫(x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Integruok viršutinės ir apatinės funkcijų skirtumą.

Pavyzdys. y = x ir y = x². Susikerta ties 0 ir 1; tarp jų x ≥ x². S = ∫ nuo 0 iki 1 (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Kuris grafikas aukščiau, nustatyk įstatęs tašką iš intervalo vidurio.

Jei grafikai kertasi daugiau nei du kartus, sritis susideda iš kelių dalių – kiekvieną skaičiuok atskirai.

Neigiamas atsakymas reiškia, kad sukeitei funkcijas.

Su skaičiuotuvu
  • Susikirtimus patikrink įstatydamas rastus x į abi funkcijas.
  • Integralą patikrink ∫dx funkcija, įvedęs skirtumą f(x) − g(x).

Potemė

Sukinio tūris

Prieš šią potemę prisimink: Apibrėžtinis integralas: Niutono ir Leibnico formulė.

Apskaičiuok kūno, gauto sukant kreivinę trapeciją apie Ox ašį, tūrį.

V=π∫abf2(x) dxV=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx

Sukant sritį po grafiku apie Ox, kiekvienas skerspjūvis – skritulys, kurio spindulys f(x).

xy1234−2−1120y = √x
Sukant sritį apie Ox, kiekvienas skerspjūvis – skritulys, kurio spindulys √x. Tūris π∫x dx nuo 0 iki 4 = 8π.

Skritulio plotas πf²(x), todėl tūris V = π∫f²(x) dx.

Pavyzdys. y = √x, 0 ≤ x ≤ 4. V = π∫ nuo 0 iki 4 x dx = π · 16/2 = 8π.

Jei sukama sritis tarp dviejų grafikų, skerspjūvis – žiedas: V = π∫(f² − g²) dx.

Klaida – integruoti πf(x) be kvadrato: gautum ne tūrį.

Sukant y = √(r² − x²) nuo −r iki r gaunamas rutulys: V = 4πr³/3.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk π × ∫ nuo 0 iki 4 x dx; turi gauti 25,13 ≈ 8π.
  • Tūrio vienetai – kubiniai.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Išvestinės Funkcijos Briaunainiai ir sukiniai Šios temos formulės Matematika 12 klasei Visos temos

Integralai

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus