PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis

Trigonometrija

Susiek kampą su sinuso, kosinuso ir tangento reikšmėmis. Pradėk nuo stačiojo trikampio, tada nagrinėk vienetinį apskritimą, tapatybes ir funkcijų grafikus.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Pagrindai

Ką verta žinoti

Stačiajame trikampyje sin α = prieš kampą esantis statinis / įžambinė.

cos α = prie kampo esantis statinis / įžambinė; tan α = sin α / cos α, jei cos α ≠ 0.

Įžambinė yra prieš statųjį kampą ir yra ilgiausia kraštinė.

Pavyzdys. Jei prieš kampą esantis statinis 3, įžambinė 5, tuomet sin α = 3/5 = 0,6.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Vienetiniame apskritime cos α yra taško x koordinatė, sin α – y koordinatė. Tai leidžia nagrinėti ir didesnius už 90° kampus.

Skaičiuotuvo laipsnių ir radianų režimai skiriasi: 180° = π rad. Patikrink režimą prieš skaičiuodamas.

Išspręstas pavyzdys

Tapatybė nustato dydį, ketvirtis – ženklą

Duota sin α = 3/5, o kampas α yra antrajame ketvirtyje. Rask cos α.

Iš tapatybės cos² α = 1 − sin² α gauni cos² α = 1 − 9/25 = 16/25.

Iš kvadrato vieno ženklo dar nenustatai: galimos reikšmės 4/5 ir −4/5.

Antrajame ketvirtyje vienetinio apskritimo taško x koordinatė neigiama. Todėl cos α = −4/5. Patikrinimas: 9/25 + 16/25 = 1.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 8 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Posūkio kampai ir periodiškumas

Nagrinėk posūkio kampus ir rask juos atitinkančius kampus vieno apsisukimo intervale.

sin⁡(α+360∘k)=sin⁡α\sin(\alpha+360^\circ k)=\sin\alpha

Vienas apsisukimas yra 360°. Kampai gali būti ir neigiami, ir didesni už 360°.

xy1−11−1IIIIIIIV391°
Po pilno apsisukimo spindulys grįžta į tą pačią vietą: 391° ir 31° žymi tą patį tašką I ketvirtyje.

Sinusas ir kosinusas kartojasi kas 360°, tangentas – kas 180°.

Visas apsisukimas grąžina į tą pačią apskritimo vietą. Todėl gali pridėti ar atimti 360° nepakeisdamas sinuso ir kosinuso reikšmių.

Pavyzdys. Kampas α = 391°. Rask jam atitinkantį kampą intervale [0°; 360°). Visų apsisukimų skaičius: 1 · 360° = 360°. β = 391° − 360° = 31°.

Atimk visus apsisukimus, kad gautum kampą intervale [0°; 360°).

Ketvirtis padeda nustatyti sinuso ir kosinuso ženklus; vien kampo dydžio be krypties nepakanka.

Su skaičiuotuvu
  • Pasirink DEG. Palygink sin(390) ir sin(30): abu lygūs 0,5.
  • Kampą sumažink atimdamas 360 kartotinius; DEG ir RAD režimų nemaišyk.

Potemė

Trigonometrinės funkcijos

Išmok susieti kampą su trikampio kraštinių santykiais ir vienetiniu apskritimu.

sin⁡α=priesˇingasis statinisįzˇambine˙,tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\sin\alpha=\frac{\text{priešingasis statinis}}{\text{įžambinė}},\quad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Stačiajame trikampyje sin α yra prieš kampą esančio statinio ir įžambinės santykis, cos α – prie kampo esančio statinio ir įžambinės santykis.

α4 – prie kampo3 – prieš kampą5
sin α = 3/5 (prieš kampą / įžambinė), cos α = 4/5 (prie kampo / įžambinė), tan α = 3/4.

Vienetiniame apskritime taško koordinatės yra (cos α; sin α). Tangentas apibrėžtas, kai cos α ≠ 0.

Sinusas ir kosinusas yra kraštinių santykiai, todėl jų reikšmės smailiajam kampui telpa tarp 0 ir 1. Apskritimas tas pačias sąvokas išplečia visiems kampams.

Pavyzdys. Kai prieš kampą esantis statinis yra 3, kitas 4, įžambinė 5: sin α = 3/5, cos α = 4/5, tan α = 3/4.

180° = π radianų. Skaičiuotuvo režimą derink su kampo vienetais.

Sinuso ir kosinuso periodas 360° (2π), tangento – 180° (π). Sinuso ir kosinuso reikšmės priklauso [−1; 1].

Su skaičiuotuvu
  • Kai kampai laipsniais, pasirink DEG: sin(30) = 0,5. A kurse kampams radianais rinkis RAD: sin(π ÷ 6) = 0,5.
  • sin⁻¹ (SHIFT SIN) yra arksinusas, ne 1/sin. Jis grąžina vieną pagrindinį kampą, o ne visus lygties sprendinius.

Potemė

Laipsniai ir radianai

Keisk kampus iš laipsnių į radianus ir atgal.

180∘=π rad180^\circ=\pi\ \mathrm{rad}

Vienas apsisukimas lygus 2π radianų.

xy1−11−13π/4
Pusė apsisukimo yra π rad = 180°, todėl π/4 = 45°, o 3π/4 = 3 · 45° = 135°.

Laipsnius keisk radianais daugindamas iš π/180; radianus keisk laipsniais daugindamas iš 180/π.

Radianas sieja kampą su apskritimo lanku: visas apsisukimas yra 2π. Keisdamas vienetus išsaugok tikslų atsakymą su π, jei apytikslio nereikia.

Pavyzdys. Kampas lygus 3π/4 rad. Išreikšk jį laipsniais. Dauginame iš 180/π. 3π/4 · 180/π = 3 · 45° = 135°.

Jei argumentas radianais, naudok RAD režimą.

Tikslų π kartotinį palik su π, jei neprašoma apytikslio skaičiaus.

Su skaičiuotuvu
  • Radianus keisdamas laipsniais įvesk kampą × 180 ÷ π.
  • Patikra: RAD režimu sin(π/6) = 0,5, DEG režimu sin(30) = 0,5.

Potemė

Trigonometrinės tapatybės

Pertvarkyk reiškinius, atsižvelgdamas į ženklus ir apibrėžimo sritį.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Pagrindinė tapatybė galioja visiems kampams. Iš jos sin² α = 1 − cos² α ir cos² α = 1 − sin² α.

xy1−11−1cos αsin α(4/5; 3/5)
Taško koordinatės yra (cos α; sin α). Spindulys lygus 1, todėl pagal Pitagoro teoremą cos² α + sin² α = 1.

tan α = sin α / cos α, kai cos α ≠ 0. Reiškinio vardiklis negali būti nulis.

Iš vienos trigonometrinės reikšmės dažnai gali rasti kitą, bet vien kvadratas nepasako ženklo. Ženklą nustatyk pagal kampo vietą apskritime.

Pavyzdys. Jei sin α = 3/5 ir α smailusis, cos² α = 1 − 9/25 = 16/25, todėl cos α = 4/5.

Iš kvadrato gauni du ženklo variantus. Kampo ketvirtis nurodo, kuris tinka: antrame ketvirtyje kosinusas neigiamas.

1 + tan² α = 1/cos² α, kai cos α ≠ 0. Ją gausi pagrindinę tapatybę padalijęs iš cos² α.

Su skaičiuotuvu
  • Kai kampai laipsniais, pasirink DEG: sin(30) = 0,5. A kurse kampams radianais rinkis RAD: sin(π ÷ 6) = 0,5.
  • sin⁻¹ (SHIFT SIN) yra arksinusas, ne 1/sin. Jis grąžina vieną pagrindinį kampą, o ne visus lygties sprendinius.

Potemė

Arksinusas, arkkosinusas ir arktangentas

Rask kampą, kai žinai jo sinusą, kosinusą ar tangentą.

α=arcsin⁡u\alpha=\arcsin u

Arksinusas grąžina kampą iš [−90°; 90°], arkkosinusas – iš [0°; 180°].

xy1−11−1y = 0,530°150°
sin 30° = sin 150° = 0,5, bet sin⁻¹ 0,5 grąžina tik 30°, nes arksinusas renkasi kampą iš [−90°; 90°].

Arksinuso ir arkkosinuso argumentas turi priklausyti [−1; 1]; arktangento argumentas gali būti bet kuris realusis skaičius.

Skaičiuotuvo arcsin pateikia vieną pagrindinį kampą. Jei ieškai visų trigonometrinės lygties sprendinių, vien šios reikšmės neužtenka.

Pavyzdys. Rask smailų kampą α, kai sin α = 0,11. Atsakyk laipsniais, 0,1° tikslumu. Pasirenkame DEG režimą. α = arcsin(0,11) ≈ 6,3°.

Skaičiuotuvo sin⁻¹ reiškia arksinusą, o ne 1/sin.

Pagrindinė atvirkštinės funkcijos reikšmė neapima visų trigonometrinės lygties sprendinių.

Su skaičiuotuvu
  • DEG režimu įvesk SHIFT SIN (0,5): gausi 30°.
  • Patikrink apskaičiuodamas gauto kampo sinusą; apvalink tik pabaigoje.

Potemė

Sinusoidė: reikšmės ir amplitudė

Skaityk sinusoidės aukštį, vidurinę liniją ir reikšmių sritį.

−1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1

Sinuso ir kosinuso reikšmės yra nuo −1 iki 1.

xy90°180°270°360°1234567890y = 5f(x) = 3 sin x + 5max 8min 2
Vidurinė linija y = 5, amplitudė 3: reikšmės nuo 5 − 3 = 2 iki 5 + 3 = 8.

Funkcijos a sin x + c amplitudė |a|, vidurinė linija y = c, reikšmių sritis [c − |a|; c + |a|].

Amplitudė rodo atstumą nuo vidurinės linijos iki viršūnės, o ne visą aukštį nuo minimumo iki maksimumo. Visas aukštis yra 2|a|.

Pavyzdys. Rask mažiausią funkcijos f(x) = 3 sin x + 5 reikšmę. Mažiausia sinuso reikšmė −1 pasiekiama, pavyzdžiui, kai x = 270°. Mažiausia f reikšmė 3 · (−1) + 5 = 2, didžiausia 3 · 1 + 5 = 8, todėl reikšmių sritis [2; 8].

Neigiamas daugiklis atspindi grafiką, bet amplitudė lieka teigiama.

Uždarame argumento intervale tikrink, ar pasiekiami aukščiausias ir žemiausias grafiko taškai.

Su skaičiuotuvu
  • DEG režimu patikrink reikšmes ties 90° ir 270°.
  • Maksimumą pagrįsk sin x ∈ [−1; 1], o ne tik lentele.

Potemė

Sprendiniai iš vienetinio apskritimo

Rask visus trigonometrinės lygties sprendinius nurodytame intervale.

sin⁡x=sin⁡α\sin x=\sin\alpha

Vienetiniame apskritime sinusas yra taško y koordinatė.

xy1−11−1y = sin 21°21°159°
Tiesė y = sin 21° kerta apskritimą dviejuose taškuose: 21° ir 180° − 21° = 159°. Skaičiuotuvas parodo tik pirmąjį.

Kai 0° < α < 90°, lygties sin x = sin α sprendiniai viename apsisukime yra α ir 180° − α.

Ta pati sinuso reikšmė viename apsisukime paprastai pasitaiko dviejuose kampuose. Vienetinis apskritimas parodo, kodėl jų y koordinatės sutampa.

Pavyzdys. Rask visus x ∈ [0°; 360°] sprendinius: sin x = sin 21°. Vienas kampas 21°. Kitas kampas 180° − 21° = 159°. Abu priklauso intervalui.

Nurodytame intervale atrink visus apskritimo taškus, o ne tik skaičiuotuvo pagrindinę reikšmę.

Jei intervalo galas įtrauktas, tikrink ir jį; 0° ir 360° atitinka tą patį tašką, bet skirtingus argumento skaičius.

Su skaičiuotuvu
  • DEG režimu sin⁻¹ duoda vieną kampą. Kitą rask 180 − α.
  • Abi reikšmes įrašyk į pradinį sinusą; vien SHIFT SIN nepakanka visiems sprendiniams rasti rasti.

Potemė

Periodas ir kelių žingsnių modelis

Nustatyk, kaip dažnai kartojasi periodinis procesas.

T=360∘∣k∣T=\frac{360^\circ}{|k|}

Funkcijos a sin(kx) + c periodą lemia argumento daugiklis k.

xy90180270360−3−21234560T = 90
Daugiklis 4 suspaudžia grafiką: periodas 360/4 = 90, todėl intervale [0; 360] telpa 4 periodai, o [0; 720] – 8.

Amplitudė priklauso nuo a, o vidurinė linija nuo c; šie skaičiai periodo nekeičia.

Periodas yra mažiausias teigiamas x pokytis, po kurio grafikas pasikartoja. Daugiklis k suspaudžia arba ištęsia bangą x kryptimi.

Pavyzdys. Duota f(x) = 3 sin(4x) + 1, kampas 4x matuojamas laipsniais. Kiek ištisų periodų telpa x intervale [0; 720]? Periodas T = 360/4 = 90. Periodų skaičius 720/90 = 8. Amplitudė 3 ir poslinkis 1 periodo nekeičia.

Kai x išreikštas radianais, periodas 2π/|k|.

Situacijos laikui priskirk vienetus: jei x sekundėmis, periodas irgi sekundėmis.

Su skaičiuotuvu
  • DEG modelio periodui įvesk 360 ÷ abs(k); RAD modeliui 2 × π ÷ abs(k).
  • Patikrink f(x) ir f(x + T) keliose vietose.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Trigonometrinės lygtys ir reiškiniai Geometrija: vektoriai Stereometrija: tiesės, plokštumos ir kampai Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Trigonometrija

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus