PliusMinus Pradėti nemokamai

12 klasė · A ir B kursai · VBE II dalis

Stereometrija: tiesės, plokštumos ir kampai

Nagrinėk tiesių ir plokštumų padėtį erdvėje. Mokykis rasti kampus ir atstumus, pasitelkdamas statmenis, projekcijas ir stačiuosius trikampius.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

sin⁡α=hl,d=a2+b2+c2\sin\alpha=\frac{h}{l},\qquad d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Pagrindai

Ką verta žinoti

Tiesės erdvėje: susikertančios, lygiagrečios arba prasilenkiančios.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos – kampas su projekcija.

Atstumas visada matuojamas statmeniu.

Pavyzdys. Pasviroji 13, jos projekcija 12. Statmuo √(169 − 144) = 5, o kampo su plokštuma sinusas 5/13.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Trijų statmenų teorema leidžia rasti statmenį tiesei per jo projekciją plokštumoje.

Dvisienis kampas matuojamas pjūvyje, statmename briaunai.

Išspręstas pavyzdys

Kubo įstrižainės kampas su pagrindu

Kubo briauna a. Įstrižainės AC₁ galas C₁ projektuojasi į C.

Projekcija AC = a√2, aukštis CC₁ = a.

tg α = a/(a√2) = √2/2, todėl α ≈ 35,3°.

Kampas su vertikalia briauna būtų papildinys iki 90°.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 7 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Tiesių ir plokštumų padėtis erdvėje

Išmok atpažinti kube, prizmėje ir piramidėje lygiagrečias, susikertančias ir prasilenkiančias tieses.

a∥b,a∩b={M},a ir b prasilenkiaa\parallel b,\quad a\cap b=\{M\},\quad a\ \text{ir}\ b\ \text{prasilenkia}

Dvi erdvės tiesės gali susikirsti, būti lygiagrečios arba prasilenkti.

ABCC₁ABCDA₁B₁C₁D₁
Briaunos AB ir CC₁ nesikerta ir nėra lygiagrečios – jų negalima patalpinti vienoje plokštumoje. Tokios tiesės prasilenkia.

Prasilenkiančios tiesės nesikerta ir nėra lygiagrečios – jų negalima patalpinti vienoje plokštumoje.

Pavyzdys. Kube ABCDA₁B₁C₁D₁ briauna CC₁ nesikerta su AB ir nėra jai lygiagreti: AB guli apatinėje sienoje, o CC₁ ją tik paliečia taške C, esančiame už tiesės AB. Todėl AB ir CC₁ prasilenkia.

Per tris ne vienoje tiesėje esančius taškus eina vienintelė plokštuma; per dvi susikertančias ar lygiagrečias tieses – taip pat.

Tiesė lygiagreti plokštumai, jei ji lygiagreti kuriai nors tos plokštumos tiesei ir jai nepriklauso.

Tiesė statmena plokštumai, jei ji statmena dviem toje plokštumoje susikertančioms tiesėms.

Su skaičiuotuvu
  • Skaičiuotuvo čia nereikia: nusibraižyk kubą ir briaunas pažymėk skirtingomis spalvomis.
  • Tikrink porą klausimu: ar yra plokštuma, kurioje guli abi tiesės? Jei ne – jos prasilenkia.

Potemė

Statmuo, pasviroji ir jos projekcija

Paversk erdvės uždavinį stačiuoju trikampiu: statmuo, pasviroji ir projekcija.

l2=h2+p2,h=lsin⁡α,p=lcos⁡αl^2=h^2+p^2,\qquad h=l\sin\alpha,\quad p=l\cos\alpha

Iš taško nuleistas statmuo h yra trumpiausias atstumas iki plokštumos.

αprojekcija p = 8statmuo h = 6pasviroji l = 10
Statmuo, projekcija ir pasviroji sudaro statųjį trikampį. Kampas su plokštuma α yra tarp pasvirosios ir jos projekcijos.

Pasviroji l, statmuo h ir projekcija p sudaro statųjį trikampį, kurio įžambinė – pasviroji.

Pavyzdys. Taškas nutolęs nuo plokštumos 6 cm, pasviroji 10 cm. Projekcija p = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm.

Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos yra kampas tarp pasvirosios ir jos projekcijos.

Iš vieno taško nubrėžtų pasvirųjų ilgesnė ta, kurios projekcija ilgesnė – statmuo bendras.

Uždavinyje su dviem pasvirosiomis pirmiausia rask bendrą statmenį, tada antrąją projekciją.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk √(10² − 6²) = 8. Skliaustai apima visą skirtumą.
  • Kampui su plokštuma naudok sin⁻¹(h ÷ l) DEG režimu.

Potemė

Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Rask kampą tarp tiesės ir plokštumos per jos statmenąją projekciją – kube, gretasienyje ir piramidėje.

sin⁡α=hl,cos⁡α=pl,tg⁡α=hp\sin\alpha=\frac{h}{l},\quad \cos\alpha=\frac{p}{l},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{p}

Kampas su plokštuma matuojamas tarp tiesės ir jos projekcijos toje plokštumoje.

AC₁AC = 55ABCDA₁B₁C₁D₁
Įstrižainės AC₁ projekcija pagrinde – atkarpa AC = 5. Trikampis ACC₁ statusis, todėl tg α = 5/5 = 1.

Projekciją gausi nuleidęs statmenį iš tiesės taško į plokštumą ir sujungęs jo pagrindą su susikirtimo tašku.

Pavyzdys. Stačiakampio gretasienio AB = 3, AD = 4, AA₁ = 5. Įstrižainės AC₁ projekcija pagrinde yra AC = √(9 + 16) = 5, aukštis CC₁ = 5. Todėl tg α = 5/5 = 1 ir α = 45°.

Kampas su plokštumos statmeniu papildo ieškomą kampą iki 90°: sinusas ir kosinusas susikeičia.

Taisyklingosios piramidės šoninės briaunos projekcija eina iš pagrindo viršūnės į centrą – tai pusė įstrižainės.

Kubo įstrižainės kampas su pagrindu nepriklauso nuo briaunos: tg α = a/(a√2) = √2/2.

Su skaičiuotuvu
  • Kampą rask tan⁻¹(5 ÷ 5) = 45° DEG režimu.
  • Jei atsakymas turi būti tikslus, palik trupmeną ar šaknį, pvz., √2/2, o ne 0,707.

Potemė

Atstumai erdvėje: įstrižainės ir taškai

Apskaičiuok gretasienio įstrižainę ir atstumus tarp kubo taškų, du kartus taikydamas Pitagoro teoremą.

d=a2+b2+c2d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Erdvinę įstrižainę gausi du kartus taikęs Pitagoro teoremą: pirmiausia pagrindo įstrižainė, tada aukštis.

d = 7√13ABCDA₁B₁C₁D₁
Pirma pagrindo įstrižainė AC = √(4 + 9), tada erdvinė įstrižainė d = √(13 + 36) = 7.

Stačiakampio gretasienio įstrižainė d = √(a² + b² + c²); kubo – a√3.

Pavyzdys. Gretasienio briaunos 2, 3 ir 6. Įstrižainė √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.

Atstumą tarp dviejų kubo taškų patogu skaičiuoti koordinatėmis: viršūnė A(0; 0; 0), briauna a.

Atstumas nuo taško iki tiesės – statmens ilgis; jį gali rasti iš trikampio ploto: d = 2S/pagrindas.

Kubo sienos įstrižainė a√2, kūno įstrižainė a√3 – jų nesupainiok.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk √(2² + 3² + 6²) = 7.
  • Jei atsakymas su šaknimi, pvz., 2√6, skaičiuotuvu tik patikrink apytikslę reikšmę 4,899.

Potemė

Koordinatės ir vektoriai erdvėje

Perkelk plokštumos vektorių formules į trimatę erdvę: atstumas, skaliarinė sandauga ir kampas.

∣AB∣=Δx2+Δy2+Δz2,u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy+uzvz|AB|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2},\quad \vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z

Erdvėje taškas turi tris koordinates (x; y; z); vektoriaus koordinatės – pabaigos minus pradžios.

PoslinkisAB = (2; 3; 6)Ilgio kvadratas|AB|² = 2² + 3² + 6² = 49Ilgis|AB| = √49 = 7
Atstumas neneigiamas. Taškų koordinačių nesudedame ir galutiniame rezultate nepamirštame šaknies.

Ilgis ir skaliarinė sandauga skaičiuojami kaip plokštumoje, tik su trečiu nariu.

Kampas tarp vektorių: cos φ = (u · v)/(|u| · |v|), 0° ≤ φ ≤ 180°.

Nulinė skaliarinė sandauga reiškia statmenus vektorius.

Koordinačių metodas patogus kube: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A₁(0; 0; a).

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk √(3² + 4² + 12²) = 13.
  • Kampui: cos⁻¹((u · v) ÷ (|u| × |v|)) DEG režimu.

Potemė

Dvisienis kampas piramidėje

Rask kampą tarp piramidės šoninės sienos ir pagrindo per apotemą ir aukštinę.

tg⁡φ=ha/2,ha=h2+(a2)2\operatorname{tg}\varphi=\frac{h}{a/2},\qquad h_a=\sqrt{h^2+\left(\tfrac a2\right)^2}

Dvisienis kampas matuojamas pjūvyje, statmename plokštumų susikirtimo tiesei.

h = 43apotema 5ABCDSOK
Dvisienis kampas matuojamas trikampyje SOK: tg φ = SO/OK = 4/3, o apotema SK = 5.

Taisyklingojoje keturkampėje piramidėje tai kampas tarp apotemos ir atkarpos, jungiančios pagrindo centrą su kraštinės viduriu.

Pavyzdys. Pagrindo kraštinė 6, aukštinė 4. Atkarpa nuo centro iki kraštinės vidurio 3, todėl tg φ = 4/3, o apotema √(16 + 9) = 5.

Apotema, aukštinė ir pusė kraštinės sudaro statųjį trikampį – tai svarbiausias piramidės pjūvis.

Kampas tarp šoninės briaunos ir pagrindo kitas: jo projekcija yra pusė įstrižainės, a√2/2.

Kai žinomas dvisienis kampas, aukštinė h = (a/2) · tg φ.

Su skaičiuotuvu
  • Kampą rask tan⁻¹(4 ÷ 3) ≈ 53,13° DEG režimu.
  • Tikslią reikšmę su šaknimi skaičiuotuvu tik patikrink.

Potemė

Trijų statmenų teorema

Rask atstumą nuo taško iki tiesės erdvėje, pasinaudojęs trijų statmenų teorema.

SA⊥α, AB⊥BC ⇒ SB⊥BCSA\perp\alpha,\ AB\perp BC\ \Rightarrow\ SB\perp BC

Jei pasvirosios projekcija statmena plokštumos tiesei, tai ir pati pasviroji jai statmena.

DuotaSO ⟂ plokštumai αPlokštumojel ⟂ OA, A ∈ lIšvadal ⟂ SA
Pagal trijų statmenų teoremą tiesė l taip pat statmena pasvirajai SA. Svarbios visos pradinės padėties sąlygos.

Todėl atstumas nuo taško S iki tiesės plokštumoje – tai pasviroji, kurios projekcija statmena tai tiesei.

Pavyzdys. SA ⟂ stačiakampio ABCD plokštumai, SA = 3, AB = 4. AB ⟂ BC, todėl SB ⟂ BC ir atstumas nuo S iki BC lygus SB = √(9 + 16) = 5.

Atvirkštinė teorema: jei pasviroji statmena plokštumos tiesei, tai jai statmena ir projekcija.

Taisyklingojoje piramidėje apotema statmena pagrindo kraštinei būtent dėl trijų statmenų teoremos.

Pirmiausia rask plokštumoje tašką, kuriame projekcija statmena tiesei, tik tada skaičiuok.

Su skaičiuotuvu
  • Atstumą skaičiuok √(h² + p²).
  • Skaičiuotuvas nepadės pasirinkti tinkamos atkarpos – tam reikia brėžinio.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Geometrija: vektoriai Trigonometrija Briaunainiai ir sukiniai Šios temos formulės Matematika 12 klasei Visos temos

Stereometrija: tiesės, plokštumos ir kampai

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus