PliusMinus Pradėti nemokamai

12 klasė · A ir B kursai · VBE II dalis

Kombinatorika

Skaičiuok galimus pasirinkimus ir jų derinius neišvardydamas visų variantų. Pirmiausia nustatyk, ar svarbi elementų tvarka ir ar elementai gali kartotis.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

Pn=n!,Ank=n!(n−k)!,Cnk=n!k!(n−k)!P_n=n!,\quad A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Pagrindai

Ką verta žinoti

Pasirinkimai iš eilės dauginami, alternatyvos sudedamos.

Tvarka svarbi – gretiniai, nesvarbi – deriniai.

Visų objektų išrikiavimas – kėlinys n!.

Pavyzdys. Pirmininkas ir pavaduotojas iš 8: 8 · 7 = 56. Dviejų narių komitetas: 56/2 = 28.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

„Bent vienas“ skaičiuok per priešingą atvejį.

Pasikartojančios raidės: n! dalyk iš jų faktorialų.

Išspręstas pavyzdys

Kodėl deriniai = gretiniai / k!

Gretinių iš 4 po 2: 4 · 3 = 12.

Kiekviena pora, pvz., {A; B}, suskaičiuota du kartus: AB ir BA.

Todėl derinių 12/2! = 6.

Bendrai dalijame iš k!, nes k objektų galima išrikiuoti k! būdų.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 3 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Kombinatorinė daugybos taisyklė

Suskaičiuok galimybes, kai pasirinkimai daromi paeiliui, ir atskirk daugybą nuo sudėties.

N=n1⋅n2⋅…⋅nkN=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k

Jei pirmą pasirinkimą galima atlikti m būdų, o po jo antrą – n būdų, iš viso yra m · n galimybių.

Pirmas pasirinkimas3 marškinėliaiAntras pasirinkimas2 kelnės kiekvienam variantuiVisi deriniai3 · 2 = 6
Dauginame, nes aprangą sudaro abu nuoseklūs pasirinkimai.

Jei reikia pasirinkti vieną iš nesikertančių alternatyvų, galimybės sudedamos.

Pavyzdys. Keturženklis PIN kodas iš skaitmenų 0–9, kartoti galima: kiekvienai vietai 10 pasirinkimų, todėl 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.

Jei elementų kartoti negalima, kiekvienai kitai vietai lieka vienu pasirinkimu mažiau.

Skaičius neprasideda nuliu: pirmai vietai 0 netinka.

Galimybių medis parodo daugybos taisyklės prasmę: kiekviena šaka dalijasi į tiek pat naujų.

Su skaičiuotuvu
  • Daugybos taisyklei užtenka paprasto daugybos veiksmo, pvz., 9 × 9 × 8 = 648.
  • Didelius skaičius tikrink laipsniu: 10⁴ = 10000.

Potemė

Kėliniai ir gretiniai

Suskaičiuok, keliais būdais galima išrikiuoti objektus arba užimti skirtingas pareigas.

Pn=n!,Ank=n!(n−k)!P_n=n!,\qquad A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}

Kėlinys – visų n skirtingų objektų išrikiavimas; jų n! = 1 · 2 · … · n.

Pirmininkas5 pasirinkimaiPavaduotojas4 pasirinkimaiSkirtingi paskyrimai5 · 4 = 20
Tvarka svarbi: sukeitę pirmininką ir pavaduotoją gauname kitą paskyrimą.

Gretinys – k objektų iš n parinkimas ir išrikiavimas, kai tvarka svarbi: n(n − 1)…(n − k + 1).

Pavyzdys. Iš 8 mokinių renkamas pirmininkas ir pavaduotojas: 8 · 7 = 56 būdai. Pareigos skirtingos, todėl tvarka svarbi.

Jei tarp raidžių yra vienodų, n! padalyk iš kiekvienos pasikartojančios raidės dažnio faktorialo.

Du objektai, turintys stovėti greta, sujungiami į bloką; nepamiršk bloko vidaus tvarkos 2!.

Sutariama, kad 0! = 1.

Su skaičiuotuvu
  • Mygtukas x! skaičiuoja faktorialą: 6! = 720.
  • nPr skaičiuoja gretinius: 10 nPr 3 = 720.

Potemė

Deriniai

Suskaičiuok, keliais būdais galima parinkti grupę, kai tvarka nesvarbi, ir taikyk priešingą įvykį.

Cnk=(nk)=n!k! (n−k)!C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Derinys – k objektų iš n parinkimas, kai tvarka nesvarbi (komanda, grupė, rinkinys).

Skaičiuojame su tvarka5 · 4 = 20Pašaliname dubliavimąAB ir BA – ta pati komisijaKomisijų skaičiusC(5; 2) = 20/2 = 10
Dalyba iš 2 pašalina poros narių eiliškumą.

Derinių yra k! kartų mažiau nei gretinių, nes kiekviena grupė gretiniuose suskaičiuota k! kartų.

Pavyzdys. Iš 10 žmonių renkama 3 narių grupė: C = 10 · 9 · 8/3! = 120.

Kai grupė sudaroma iš dviejų aibių (merginų ir vaikinų), derinius daugink: C₅² · C₄¹.

„Bent vienas“ patogiau skaičiuoti per priešingą atvejį: visos grupės minus grupės be nė vieno.

Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ: parinkti 3 iš 10 tas pats, kas atmesti 7.

Su skaičiuotuvu
  • nCr mygtukas: 10 nCr 3 = 120.
  • Patikrink simetriją: 10 nCr 7 taip pat 120.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Tikimybės Atsitiktiniai dydžiai Aibės Šios temos formulės Matematika 12 klasei Visos temos

Kombinatorika

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus