PliusMinus Pradėti nemokamai

12 klasė · A ir B kursai · VBE II dalis

Tikimybės

Mokykis apskaičiuoti įvykių tikimybes. Nustatyk vienodai tikėtinas baigtis, atpažink nepriklausomus bei nesutaikomus įvykius ir pasirink tinkamą skaičiavimo taisyklę.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

P(A)=mn,P(Aˉ)=1−P(A),P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A)=\frac mn,\quad P(\bar A)=1-P(A),\quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Pagrindai

Ką verta žinoti

Tikimybė tarp 0 ir 1.

Nesutaikomų įvykių tikimybės sudedamos, nepriklausomų – dauginamos.

„Bent vienas“ – per priešingą įvykį.

Pavyzdys. Du kauliukai, suma 8: palankios poros (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), P = 5/36.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Traukiant be grąžinimo antras žingsnis priklauso nuo pirmo.

Bernulio formulė: Cₙᵏ pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Išspręstas pavyzdys

Be grąžinimo

Dėžėje 4 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai, traukiami 2.

Pirmas raudonas: 4/7.

Liko 3 raudoni iš 6: antras raudonas 3/6.

Abu raudoni: 4/7 · 3/6 = 2/7.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 5 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Klasikinė tikimybė

Apskaičiuok tikimybę kaip palankių ir visų vienodai tikėtinų baigčių santykį.

P(A)=mnP(A)=\frac{m}{n}

Tikimybė – palankių baigčių skaičius m, padalytas iš visų vienodai tikėtinų baigčių skaičiaus n.

Visos poros3 raudoni + 2 mėlyni → 10 porųPalankios poros3 · 2 = 6TikimybėP = 6/10 = 0,6
Palankias ir visas poras skaičiavome vienodai, nekreipdami dėmesio į paėmimo tvarką.

Tikimybė visada tarp 0 ir 1: negalimo įvykio 0, būtino 1.

Pavyzdys. Dėžėje 2 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Traukiamas vienas: P(raudonas) = 2/5.

Dviem kauliukams yra 36 vienodai tikėtinos sutvarkytos poros, o ne 11 sumų.

Traukiant kelis objektus be grąžinimo, palankias ir visas baigtis skaičiuok deriniais.

Formulė tinka tik vienodai tikėtinoms baigtims.

Su skaičiuotuvu
  • Trupmeną suprastink: 6 ÷ 36 = 1/6.
  • Derinių santykiui: (4 nCr 2) ÷ (7 nCr 2).

Potemė

Priešingas įvykis ir nesutaikomi įvykiai

Naudok priešingo įvykio tikimybę ir sudėk nesutaikomų įvykių tikimybes.

P(Aˉ)=1−P(A),P(A∪B)=P(A)+P(B), kai A∩B=∅P(\bar A)=1-P(A),\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B),\ \text{kai }A\cap B=\varnothing

Priešingas įvykis Ā įvyksta tada, kai A neįvyksta: P(Ā) = 1 − P(A).

Visos baigtys30 bilietų, 3 laimingiLaimėtiP = 3/30 = 0,1Nelaimėti1 − 0,1 = 0,9
Tiesioginė patikra: 27 nelaimingi bilietai iš 30 duoda tą pačią tikimybę.

Nesutaikomi įvykiai negali įvykti kartu – jų sąjungos tikimybė lygi tikimybių sumai.

Pavyzdys. Kauliukas: P(1 arba 6) = 1/6 + 1/6 = 1/3, nes vienu metimu negali atvirsti ir 1, ir 6.

Nesutaikomumas ir nepriklausomumas – skirtingos sąvokos: nesutaikomi įvykiai paprastai priklausomi.

Jei P(A) tris kartus didesnė už P(Ā), tai P(A) = 3/4, nes kartu jos sudaro 1.

Visų nesutaikomų baigčių tikimybių suma lygi 1.

Su skaičiuotuvu
  • Priešingam įvykiui įvesk 1 − 0,35 = 0,65.
  • Patikrink, ar gauta tikimybė tarp 0 ir 1.

Potemė

Nepriklausomi įvykiai

Daugink nepriklausomų įvykių tikimybes ir skaičiuok „bent vieno“ tikimybę per priešingą įvykį.

P(A∩B)=P(A)⋅P(B),P(bent vienas)=1−(1−p)nP(A\cap B)=P(A)\cdot P(B),\qquad P(\text{bent vienas})=1-(1-p)^n

Įvykiai nepriklausomi, jei vieno įvykimas nekeičia kito tikimybės.

0,8pataiko0,6pataiko 0,480,4ne 0,320,2ne0,6pataiko 0,120,4ne 0,08
Vieno kelio tikimybės dauginamos: 0,8 · 0,6 = 0,48. Visų keturių kelių tikimybių suma lygi 1.

Nepriklausomų įvykių sankirtos tikimybė lygi jų tikimybių sandaugai.

Pavyzdys. Du šauliai pataiko su tikimybėmis 0,8 ir 0,6. Abu pataiko: 0,8 · 0,6 = 0,48.

„Bent vienas“: 1 − P(nė vienas). Trims metimams su p = 0,7: 1 − 0,3³ = 0,973.

„Lygiai vienas“ iš dviejų: sudėk du kelius – pirmas taip, antras ne, ir atvirkščiai.

Tikimybių medyje vieno kelio tikimybės dauginamos, skirtingų kelių – sudedamos.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk 1 − 0,3³ = 0,973.
  • Keliems keliams: 0,8 × 0,4 + 0,2 × 0,6 = 0,44.

Potemė

Sutaikomi įvykiai: sąjungos tikimybė

Apskaičiuok „A arba B“ tikimybę, kai įvykiai gali įvykti kartu.

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Jei A ir B gali įvykti kartu, jų bendroji dalis sudėjus tikimybes suskaičiuojama du kartus.

AB0,20,20,30,3
Sudėjus P(A) = 0,4 ir P(B) = 0,5, bendra dalis 0,2 suskaičiuojama du kartus. Atėmus ją, P(A ∪ B) = 0,7.

Todėl vieną kartą ją atimame: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Pavyzdys. P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2. P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.

Iš tos pačios formulės galima rasti ir sankirtą: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B).

Oilerio (Veno) diagrama padeda: kiekvieną sritį skaičiuok po vieną kartą.

Jei gauni tikimybę, didesnę už 1, pamiršai atimti sankirtą.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk 0,4 + 0,5 − 0,2.
  • Uždaviniams su mokinių skaičiais tikimybę gauk dalydamas iš visų mokinių.

Potemė

Bernulio bandymai

Prieš šią potemę prisimink: Deriniai.

Apskaičiuok tikimybę, kad n nepriklausomų bandymų serijoje sėkmė įvyks tiksliai k kartų.

Pn(k)=Cnk pk(1−p)n−kP_n(k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}

Bernulio schema: n nepriklausomų bandymų, kiekviename dvi baigtys ir ta pati sėkmės tikimybė p.

00,10,20,30,4kP00,07810,25920,34630,2340,07750,01
Tiksliai 2 sėkmių tikimybė C₅² · 0,4² · 0,6³ ≈ 0,346 – tai aukščiausias stulpelis.

Derinys Cₙᵏ suskaičiuoja, kuriuose bandymuose gali įvykti k sėkmių.

Pavyzdys. 5 bandymai, p = 0,4, tiksliai 2 sėkmės: C₅² · 0,4² · 0,6³ = 10 · 0,16 · 0,216 = 0,3456.

„Ne mažiau kaip k“ – sudėk tikimybes nuo k iki n arba naudok priešingą įvykį.

Mažiausią bandymų skaičių randi iš nelygybės 1 − (1 − p)ⁿ ≥ norima tikimybė.

Be derinio gautum tik vienos konkrečios sėkmių tvarkos tikimybę.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk 5 nCr 2 × 0,4² × 0,6³.
  • Nelygybei su n išbandyk kelias n reikšmes iš eilės.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Kombinatorika Atsitiktiniai dydžiai Taikomoji duomenų analizė Šios temos formulės Matematika 12 klasei Visos temos

Tikimybės

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus