PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis

Laipsniai ir šaknys

Pakartok laipsnių savybes ir šaknų traukimą. Mokykis pertvarkyti reiškinius, taikyti trupmeninius rodiklius ir atsižvelgti į leistinų reikšmių sritį.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

aman=am+na^m a^n=a^{m+n}

Pagrindai

Ką verta žinoti

To paties pagrindo laipsnius dauginant rodikliai sudedami, dalijant – atimami (pagrindas nelygus 0).

Kai a > 0, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Nulinis laipsnis a⁰ = 1, kai a ≠ 0.

Aritmetinė kvadratinė šaknis neneigiama: √25 = 5.

Pavyzdys. 2³ · 2² = 2⁵ = 32. O (2³)² = 2⁶ = 64.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

√(x²) = |x|, ne visada x. Jei x neigiamas, jo kvadrato šaknis vis tiek teigiama.

a⁻ⁿ = 1/aⁿ, kai a ≠ 0. Realioji kvadratinė šaknis apibrėžta tik neneigiamam pošakniui.

Išspręstas pavyzdys

Neigiamas rodiklis ir šaknis iš kvadrato

Apskaičiuok √((−3)²) + 2⁻². Abu narius pirmiausia sutvarkyk atskirai.

√((−3)²) = √9 = 3. Aritmetinė kvadratinė šaknis neneigiama: √(x²) = |x|.

2⁻² = 1/2² = 1/4. Neigiamas rodiklis nurodo atvirkštinį skaičių, o ne neigiamą rezultatą.

Sudėk: 3 + 1/4 = 13/4 = 3,25. Atsakymą gali užrašyti paprastąja arba dešimtaine trupmena.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 5 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

n-ojo laipsnio šaknis

Trauk kubines ir aukštesnių laipsnių šaknis.

an=b  ⟺  bn=a\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a

Lyginio laipsnio šaknis realiųjų skaičių aibėje reikalauja neneigiamo pošaknio ir pati neneigiama.

1 žingsnis∛(−1) = −12 žingsnis√16 = 43 žingsnis−1 + 4 = 3
Sudėk gautas reikšmes.

Nelyginio laipsnio šaknis gali būti neigiama.

Lyginio laipsnio šaknis veikia kaip kvadratinė: neigiamas pošaknis realiosios reikšmės neturi. Nelyginė šaknis išsaugo neigiamą ženklą.

Pavyzdys. Apskaičiuok ∛(−1) + √16. Kubinė šaknis −1, kvadratinė – 4. Suma −1 + 4 = 3.

Šaknies reikšmė ir lygties x² = a sprendiniai nėra tas pats.

Tikslų atsakymą patikrink pakeldamas šaknies laipsniu.

Su skaičiuotuvu
  • Teigiamam a gali įvesti a pakelta (1 ÷ n).
  • Neigiamai kubinei šakniai naudok kubinės šaknies funkciją arba skaičiuok −(|a| pakelta (1 ÷ 3)).

Potemė

Laipsnių savybės

Pritaikyk laipsnių savybes, kai pagrindas nesikeičia.

aman=am+n,aman=am−n (a≠0)a^m a^n=a^{m+n},\quad\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\ne0)

To paties pagrindo laipsnius dauginant rodikliai sudedami, dalijant – atimami. Sveikiesiems rodikliams ir nenuliniam pagrindui šios taisyklės galioja ir su neigiamais rodikliais.

1 žingsnis2³ · 2⁵ / 2⁴2 žingsnis2³⁺⁵⁻⁴ = 2⁴3 žingsnis2⁴ = 16
Tik dabar apskaičiuok laipsnio reikšmę.

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁰ = 1, kai a ≠ 0. Neigiamas rodiklis: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Laipsnių rodiklių taisyklės taikomos daugybai ir dalybai su tuo pačiu pagrindu. Sudėties jomis keisti negalima, nes ji nėra laipsnių sandauga.

Pavyzdys. 2³ · 2⁵ / 2⁴ = 2³⁺⁵⁻⁴ = 2⁴ = 16. Tačiau 2³ + 2⁵ negalima sujungti sudėjus rodiklius.

Trupmeniniams rodikliams saugu naudoti a > 0: skaičius a, pakeltas m/n laipsniu, lygus ⁿ√(aᵐ), kai n teigiamas sveikasis.

Skliaustai lemia ženklą: (−2)² = 4, bet −2² = −4.

Su skaičiuotuvu
  • Skaičių 27 pakelk (2 ÷ 3) laipsniu – gausi 9. Visas trupmeninis rodiklis turi būti skliaustuose.
  • Jei atsakymas tikslus, palik šaknį ar trupmeną; apytikslią reikšmę apvalink tik gale.

Potemė

Veiksmai su šaknimis

Iškelk kvadratinius daugiklius ir sutrauk panašias šaknis.

ab=ab (a,b≥0),x2=∣x∣\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\ (a,b\ge0),\quad\sqrt{x^2}=|x|

Aritmetinė kvadratinė šaknis visada neneigiama. Realiųjų skaičių aibėje pošaknis turi būti neneigiamas.

1 žingsnis√72 = √(36 · 2)2 žingsnis√72 + √8 = 6√2 + 2√23 žingsnis8√2
Sudėk koeficientus prie vienodų šaknų.

Pošaknį išskaidyk į kvadratinį daugiklį ir likusią dalį. Sudėti galima tik vienodas šaknis turinčius narius.

Ištraukus kvadratinį daugiklį, vienodos šaknys tampa panašiaisiais nariais. Taip sudėsi 6√2 ir 2√2, bet ne √2 ir √3.

Pavyzdys. √72 = √(36 · 2) = 6√2. Todėl √72 + √8 = 6√2 + 2√2 = 8√2.

√(a + b) paprastai nelygu √a + √b. Pavyzdžiui, √(9 + 16) = 5, o √9 + √16 = 7.

Vardiklį gali racionalizuoti padauginęs skaitiklį ir vardiklį iš tos pačios nenulinės šaknies: 1/√2 = √2/2.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink sutraukimą: √72 + √8 ≈ 11,3137 ir 8 × √2 ≈ 11,3137.
  • Jei atsakymas tikslus, palik šaknį ar trupmeną; apytikslią reikšmę apvalink tik gale.

Potemė

Racionalusis laipsnio rodiklis

Suprask trupmeninį rodiklį kaip šaknį ir laipsnį kartu.

am/n=(an)m(a>0)a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m\quad(a>0)

Rodiklio vardiklis nurodo šaknies laipsnį, skaitiklis – kėlimą laipsniu.

1 žingsnis16 pakelta 3/4 laipsniu2 žingsnis⁴√16 = 23 žingsnis2³ = 8
Skaitiklis 3 nurodo, kelintu laipsniu pakelti rezultatą.

Neigiamas rodiklis reiškia atvirkštinį skaičių.

Trupmeninis rodiklis sujungia šaknį ir laipsnį. Pavyzdžiui, a pakeltas 3/4 laipsniu reiškia ketvirtojo laipsnio šaknį, pakeltą kubu, kai realioji reikšmė apibrėžta.

Pavyzdys. Apskaičiuok 16 pakelta 3/4 laipsniu. Ketvirtojo laipsnio šaknis iš 16 lygi 2. Pakeliame kubu: 2³ = 8.

Patogu pirma ištraukti šaknį, tada kelti laipsniu – skaičiai bus mažesni.

Skirtingų pagrindų rodiklių negalima sudėti taip, lyg pagrindai būtų vienodi.

Su skaičiuotuvu
  • Skaičių 27 pakelk (2 ÷ 3) laipsniu – gausi 9.
  • Rodiklį 2 ÷ 3 būtinai apgaubk skliaustais; kitaip padalysi visą laipsnį.

Potemė

Iracionalumo naikinimas vardiklyje

Pašalink šaknį iš vardiklio ir gauk tikslų atsakymą.

(a−b)(a+b)=a−b2(\sqrt a-b)(\sqrt a+b)=a-b^2

Daugink skaitiklį ir vardiklį iš to paties nenulinio reiškinio.

1 žingsnis1/(√5 − 2) − √52 žingsnis(√5+2)/(5−4) − √53 žingsnis√5 + 2 − √5 = 2
Vienodi šaknų nariai panaikinami.

Jei vardiklis √a − b, rinkis jungtinį reiškinį √a + b.

Jungtinių reiškinių sandaugoje viduriniai nariai panaikina vienas kitą. Vardiklyje lieka kvadratų skirtumas be šaknies.

Pavyzdys. Apskaičiuok tiksliai: 1/(√5 − 2) − √5. Dauginame trupmeną iš (√5 + 2)/(√5 + 2). Vardiklis (√5)² − 2² = 5 − 4 = 1, todėl trupmena lygi √5 + 2. Atėmę √5 gauname 2.

Pirmiausia patikrink, ar pradinis vardiklis nelygus nuliui.

Tikslios formos neatstok apytiksliu dešimtainiu skaičiumi, jei prašoma tikslaus rezultato.

Su skaičiuotuvu
  • Skaičiuotuvu palygink pradinę ir pertvarkytą išraišką.
  • Pvz., 1 ÷ (√2 − 1) ir √2 + 1 turi sutapti. Išlaikyk skliaustus vardiklyje.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Logaritmai Lygtys Skaičiavimai ir algebra Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Laipsniai ir šaknys

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus