PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis

Lygtys

Spręsdamas lygtį ieškai visų nežinomojo reikšmių, kurioms lygybė yra teisinga. Išmok pasirinkti sprendimo būdą ir patikrinti gautas šaknis pradinėje lygtyje.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

ax+b=cax+b=c

Pagrindai

Ką verta žinoti

Abiejose lygties pusėse atlik tą patį veiksmą. Dalyti galima tik iš skaičiaus, nelygaus nuliui.

Jei sandauga lygi nuliui, bent vienas daugiklis lygus nuliui.

Kvadratinei lygčiai ax² + bx + c = 0: D = b² − 4ac, x = (−b ± √D)/(2a).

Pavyzdys. 3x + 4 = 19 → 3x = 15 → x = 5. Patikrinimas: 3 · 5 + 4 = 19.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Jei D < 0, realiųjų šaknų nėra; jei D = 0, yra viena skirtinga šaknis; jei D > 0 – dvi.

Dauginant iš reiškinio ar keliant kvadratu gali atsirasti pašalinių šaknų. Kiekvieną šaknį patikrink pradinėje lygtyje.

Logaritminėje lygtyje kiekvienas argumentas turi būti teigiamas. Rodiklinėje lygtyje ieškok bendro pagrindo.

Išspręstas pavyzdys

Pakėlus kvadratu reikia patikrinti šaknis

Spręsk √(x + 2) = x. Kairė pusė neneigiama, todėl ir x ≥ 0.

Pakelk abi puses kvadratu: x + 2 = x². Perkėlęs narius gausi x² − x − 2 = 0.

Išskaidyk: (x − 2)(x + 1) = 0. Galimi kandidatai x = 2 ir x = −1.

Patikrink pradinę lygtį: √(2 + 2) = 2 tinka; √(−1 + 2) = 1, o ne −1. Vienintelis sprendinys x = 2.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 9 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Tiesinės lygtys

Atskirk nežinomąjį atlikdamas tuos pačius veiksmus abiejose lygties pusėse.

ax+b=c⇒x=c−ba (a≠0)ax+b=c\quad\Rightarrow\quad x=\frac{c-b}{a}\ (a\ne0)

Abiejose lygties pusėse atlik tą patį veiksmą. Dalink tik iš skaičiaus, nelygaus nuliui.

xy−1123456789−6−33691215180y = 15y = 3(x − 2)x = 7
Lygties 3(x − 2) = 15 sprendinys – x, ties kuriuo abi pusės lygios: tiesės kertasi, kai x = 7.

Atverk skliaustus, sutrauk panašiuosius narius, tada perkelk narius su x į vieną pusę.

Lygtį gali įsivaizduoti kaip svarstykles: pakeitus tik vieną pusę, pusiausvyra dingsta. Kiekvieną pertvarkymą taikyk abiem pusėms.

Pavyzdys. 3(x − 2) = 15 → 3x − 6 = 15 → 3x = 21 → x = 7. Patikra: 3(7 − 2) = 15.

Jei pertvarkęs gauni 0x = 0, tinka visos leistinos x reikšmės. Jei 0x = 5, sprendinių nėra.

Trupmenų vardiklių atsikratyk padauginęs visus narius iš bendro vardiklio; nepamiršk nė vieno nario.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrai įvesk kairę pusę su rastu x: 3 × (7 − 2) = 15 sutampa su dešine.
  • Trupmeninį sprendinį palik tikslų: 7 ÷ 3 ekrane rodo 2,333…, o atsakyme rašyk 7/3.

Potemė

Kvadratinės lygtys

Pasirink sprendimo būdą: skaidyk daugikliais arba taikyk diskriminanto formulę.

D=b2−4ac,x=−b±D2aD=b^2-4ac,\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}

Pirma užrašyk ax² + bx + c = 0, kur a ≠ 0. Apskaičiuok D = b² − 4ac.

xy−11234567−2−11234560
Kvadratinės lygties šaknys – taškai, kuriuose parabolė kerta x ašį. Čia D = 1 > 0, todėl jų dvi.

D > 0: dvi realiosios šaknys. D = 0: viena šaknis (dvi sutampančios). D < 0: realiųjų šaknų nėra.

Diskriminantas pasako, kiek kartų parabolė pasiekia x ašį. Kai reiškinį lengva išskaidyti dauginamaisiais, šaknis gali rasti ir be formulės.

Pavyzdys. x² − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 arba x = 4.

Sandauga lygi nuliui, kai bent vienas daugiklis lygus nuliui. Ši taisyklė netinka sandaugai, lygiai kitam skaičiui.

Vijeto teorema: šaknų suma −b/a, sandauga c/a. Ji padeda ir parinkti, ir patikrinti šaknis.

Su skaičiuotuvu
  • Kvadratinei lygčiai x² − 5x + 6 = 0 įvesk (5 + √(25 − 24)) ÷ 2 ir (5 − √(25 − 24)) ÷ 2: gausi 3 ir 2.
  • Jei naudoji EQN / POLY, vis tiek patikrink kiekvieną sprendinį pradinėje lygtyje ir jos srityje.

Potemė

Racionaliosios lygtys

Prieš šią potemę prisimink: Funkcijos apibrėžimo sritis.

Spręsk lygtis su nežinomuoju vardiklyje.

f(x)g(x)=0  ⟺  f(x)=0, g(x)≠0\frac{f(x)}{g(x)}=0\iff f(x)=0,\ g(x)\ne0

Užrašyk, kada kiekvienas vardiklis nelygus nuliui. Šių reikšmių negalima grąžinti net sutrumpinus trupmeną.

1 žingsnis6/(x − 1) = 22 žingsnis6 = 2(x − 1)3 žingsnisx = 4; 6/3 = 2
Sprendinys 4 leistinas ir tenkina pradinę lygtį.

Padaugink abi puses iš bendro vardiklio, išspręsk gautą lygtį ir atmesk neleistinas šaknis.

Vardiklio nulis yra draudžiamas net tada, kai sprendžiant jis susiprastina. Įstatęs atsakymą į pradinę lygtį greitai pastebėsi netinkamą šaknį.

Pavyzdys. 6/(x − 1) = 2. Reikia x ≠ 1. Gauname 6 = 2(x − 1), todėl x = 4. Patikra: 6/3 = 2.

Trupmena lygi nuliui tik tada, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne.

Pavyzdžiui, (x² − 4)/(x − 2) = 0 duoda kandidatus −2 ir 2. Kadangi x ≠ 2, tinka tik −2.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrai įvesk 6 ÷ (4 − 1) = 2: sutampa su dešine puse.
  • Draudžiamos reikšmės neįrašyk: dalyba iš nulio skaičiuotuve rodo klaidą, o ne sprendinį.

Potemė

Rodiklinės lygtys

Suvienodink pagrindus ir palygink rodiklius.

af(x)=ag(x)  ⟺  f(x)=g(x)(a>0, a≠1)a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)\quad(a>0,\ a\ne1)

Rodiklinėje lygtyje nežinomasis yra laipsnio rodiklyje. Pabandyk abi puses užrašyti tuo pačiu pagrindu.

1 žingsnis4ˣ = 82 žingsnis2²ˣ = 2³ → 2x = 33 žingsnisx = 3/2
Padalyk abi lygties puses iš 2.

Kai pagrindas teigiamas ir nelygus 1, vienodi laipsniai reiškia vienodus rodiklius.

Kai abu laipsniai turi tą patį tinkamą pagrindą, skirtingi rodikliai negali duoti tos pačios reikšmės. Dėl to galima spręsti paprastesnę rodiklių lygtį.

Pavyzdys. 4ˣ = 8 → 2²ˣ = 2³ → 2x = 3 → x = 3/2.

Jei bendro pagrindo nematai, gali taikyti logaritmą: aˣ = b duoda x = logₐ b, kai b > 0.

Keitinys t = aˣ visada tenkina t > 0. Išsprendęs lygtį su t, atmesk neigiamas ar nulines t reikšmes.

Su skaičiuotuvu
  • Kai bendro pagrindo nėra, 3ˣ = 20 duoda x = log(20) ÷ log(3) ≈ 2,73.
  • Patikrink: 3 pakelta Ans turi grąžinti 20. Apvalink tik galutinį atsakymą.

Potemė

Iracionaliosios lygtys ir šaknų tikrinimas

Spręsk lygtis su šaknimi ir atmesk netinkančius sprendinius.

f(x)=b  ⟺  f(x)=b2(b≥0)\sqrt{f(x)}=b\iff f(x)=b^2\quad(b\ge0)

Izoliuok šaknį. Kvadratinė šaknis negali būti lygi neigiamam skaičiui.

xy−7−5−3−1135−3−2−1123450y = √(x + 6)y = x(3; 3)√4 = 2−2
Grafikai kertasi tik taške (3; 3). Kandidatas x = −2 atsirado kėlus kvadratu: ten šaknis lygi 2, o dešinė pusė −2.

Pakėlęs kvadratu išspręsk gautą lygtį ir sprendinius tikrink pradinėje.

Pakėlimas kvadratu pamiršta pradinį ženklą: ir teigiamas, ir neigiamas skaičius turi tokį patį kvadratą. Patikra atskiria tikruosius sprendinius.

Pavyzdys. Išspręsk √(x + 6) = x. Šaknis neneigiama, todėl reikia x ≥ 0. Pakeliame kvadratu: x + 6 = x², x² − x − 6 = 0, x = 3 arba x = −2. Patikra: √9 = 3 tinka, o √4 = 2 ≠ −2, todėl −2 atmetame. Atsakymas x = 3.

Kėlimas kvadratu gali pridėti netinkančių sprendinių, todėl tikrinimas būtinas.

Kubinės šaknies reikšmė gali būti neigiama; jos nereikia apriboti sąlyga b ≥ 0.

Su skaičiuotuvu
  • Rastą x įvesk į pradinės lygties kairę pusę ir palygink su dešine.
  • Pavyzdžiui, √(2 × 7 + 2) = 4 patvirtina x = 7 lygties √(2x + 2) = 4 sprendinį.

Potemė

Logaritminės lygtys

Nuo leistinų reikšmių pereik prie lygties sprendimo.

log⁡af(x)=c  ⟺  f(x)=ac\log_a f(x)=c\iff f(x)=a^c

Pirma užrašyk kiekvieno logaritmo argumento sąlygą: jis turi būti teigiamas. Pagrindas teigiamas ir nelygus 1.

1 žingsnislog₃(x − 1) = 32 žingsnisx − 1 = 3³ = 273 žingsnisx = 28 > 1
Gautą reikšmę patikrink pradinėje srityje.

Naudok apibrėžimą arba savybes. Jei pagrindai vienodi, logₐ f(x) = logₐ g(x) reiškia f(x) = g(x), kai abu argumentai teigiami.

Lygties pertvarkymas gali duoti skaičių, kuriam logaritmas neegzistuoja. Todėl gautą reikšmę palygink su pradžioje užrašyta sritimi.

Pavyzdys. log₃(x − 1) = 3. Sritis: x > 1. Tuomet x − 1 = 27, taigi x = 28; jis priklauso sričiai.

Išsprendęs visada patikrink pradinę sritį. Pertvarkyta lygtis gali turėti papildomų šaknų.

Pavyzdžiui, log₂ x + log₂(x − 2) = 3: reikia x > 2. Gauname x(x − 2) = 8, šaknys 4 ir −2; tinka tik 4.

Su skaičiuotuvu
  • Kvadratinei lygčiai x² − 5x + 6 = 0 įvesk (5 + √(25 − 24)) ÷ 2 ir (5 − √(25 − 24)) ÷ 2: gausi 3 ir 2.
  • Jei naudoji EQN / POLY, vis tiek patikrink kiekvieną sprendinį pradinėje lygtyje ir jos srityje.

Potemė

Bikvadratinės lygtys: keitinys

Ketvirtojo laipsnio lygtį paversk kvadratine.

t=x2,t≥0t=x^2,\quad t\ge0

Jei lygtyje yra x⁴ ir x², įvesk t = x².

1 žingsnist = x², t ≥ 02 žingsnis(t − 1)(t − 289) = 03 žingsnisx = −17; −1; 1; 17
Kiekviena teigiama t reikšmė duoda dvi x reikšmes.

Išspręsk kvadratinę lygtį su t; kiekvienai teigiamai t reikšmei rask abi x reikšmes.

Keitinys t = x² negali būti neigiamas. Kiekviena teigiama t reikšmė grąžina du priešingus x, o t = 0 grąžina vieną.

Pavyzdys. Išspręsk x⁴ − 290x² + 289 = 0. Keičiame t = x², t ≥ 0. (t − 1)(t − 289) = 0. x² = 1 arba x² = 289; x = −17; −1; 1; 17.

Neigiama t reikšmė netinka realiajam x.

Kai t = 0, gaunamas vienas sprendinys x = 0, o ne du.

Su skaičiuotuvu
  • Kvadratinę lygtį išspręsk formule; jeigu skaičiuotuvas turi POLY, gali juo patikrinti t reikšmes.
  • Kiekvienam teigiamam t skaičiuok √t ir nepamiršk neigiamos x reikšmės.

Potemė

Dvi lygtys ir du nežinomieji

Rask skaičių porą, kuri tenkina abi lygtis vienu metu.

{x+y=s2x+y=t\begin{cases}x+y=s\\2x+y=t\end{cases}

Pasirink sudėties arba keitimo būdą. Sprendinys turi tenkinti abi lygtis.

xy−112345−2−11234560x + y = 42x + y = 5(1; 3)
Kiekviena lygtis – tiesė. Sistemos sprendinys yra jų susikirtimo taškas (1; 3), nes jis priklauso abiem tiesėms.

Atimdamas lygtis atimk visus abiejų pusių narius.

Geometriškai kiekviena tiesinė lygtis aprašo tiesę. Sistemos sprendinys yra jų bendras taškas, todėl pora turi tikti abiem lygtims.

Pavyzdys. Išspręsk sistemą: x + y = 4, 2x + y = 5. Atsakyk pora (x; y). Atimame pirmą lygtį iš antros: x = 1. y = 4 − 1 = 3. Patikra: 2 + 3 = 5.

Rastą porą įrašyk į abi pradines lygtis.

Jei gaunama prieštara, sprendinių nėra; jei lygtis tapatybė, tikrink likusią sąlygą.

Su skaičiuotuvu
  • Jei yra EQN / simultaneous režimas, koeficientus įvesk eilutėmis: 1, 1, s ir 2, 1, t.
  • Be šio režimo atimk lygtis ranka, tada skaičiuotuvu patikrink abi lygybes.

Potemė

Parametras ir sprendinių skaičius

Ištirk, kaip sprendinių skaičius priklauso nuo parametro.

D=b2−4acD=b^2-4ac

Parametras yra skaičius, nuo kurio priklauso lygtis.

xy−1−0,50,511,522,53−2−112340m = 0m = 1m = 2
Keičiant m parabolė slenka aukštyn. m = 0 – dvi šaknys, m = 1 – parabolė tik liečia x ašį (D = 0), m = 2 – šaknų nėra.

Kvadratinei lygčiai du sprendiniai gaunami, kai D > 0, vienas – kai D = 0, nė vieno – kai D < 0.

Keisdamas parametrą pakeiti lygtį, todėl gali pasikeisti ir šaknų skaičius. Diskriminantas leidžia iš karto nustatyti perėjimo ribą.

Pavyzdys. Su kuria m reikšme lygtis x² − 2x + m = 0 turi vieną realųjį sprendinį? Vienam sprendiniui reikia D = 0. 4 − 4m = 0, todėl m = 1. Tuomet (x − 1)² = 0.

Prieš taikydamas diskriminantą patikrink, ar x² koeficientas nelygus nuliui.

Jei jis lygus nuliui, atskirai nagrinėk tiesinę lygtį arba tapatybę.

Su skaičiuotuvu
  • Skaičiuok b² − 4ac su skliaustais neigiamam b.
  • Sprendinių skaičių pagrįsk D ženklu, ne vien skaičiuotuvo suapvalintais atsakymais.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Nelygybės Logaritmai Modulis Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Lygtys

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus