PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A kursas · VBE I dalis

Skaičiavimai ir algebra

Įtvirtink veiksmų tvarką, ženklų taisykles ir reiškinių pertvarkymą. Šios žinios padės tiksliai skaičiuoti ir spręsti kitų temų uždavinius.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac

Pagrindai

Ką verta žinoti

Pirma skliaustai, tada laipsniai, tada daugyba ir dalyba, galiausiai sudėtis ir atimtis.

Prieš skliaustus esantis minusas keičia visų jų narių ženklus.

Sudėti galima panašiuosius narius: 2x + 3x = 5x, bet x ir x² nėra panašūs.

Pavyzdys. 2(x + 3) − x = 2x + 6 − x = x + 6.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b).

Trupmenoje trumpinti galima bendrus daugiklius, o ne atskirus sumos narius.

Išspręstas pavyzdys

Trumpinami daugikliai, ne sumos nariai

Supaprastink (x² − 9)/(x − 3). Prieš trumpindamas užrašyk x ≠ 3.

Taikyk kvadratų skirtumo formulę: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Dabar skaitiklyje ir vardiklyje yra bendras daugiklis x − 3. Jį sutrumpinęs gauni x + 3, kai x ≠ 3.

Tai ne tas pats, kas trumpinti x reiškinyje (x + 3)/x. Pavyzdžiui, kai x = 3, ši antroji trupmena lygi 2, o ne 4. Sumos narių taip trumpinti negalima.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 5 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Skaičių aibės

Atskirk sveikuosius, racionaliuosius ir iracionaliuosius skaičius.

Z⊂Q⊂R\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R

Sveikieji skaičiai apima neigiamus sveikuosius, nulį ir teigiamus sveikuosius. Racionalusis skaičius užrašomas p/q, kur p, q sveikieji ir q ≠ 0.

1 žingsnis−4 = −4/12 žingsnis0,75 = 3/43 žingsnis√2 ∉ ℚ; √9 = 3 ∈ ℤ
Šaknies iš sveikojo skaičiaus kvadrato reikšmė gali būti sveikasis skaičius; √2 yra iracionalusis.

Iracionalieji skaičiai nėra dviejų sveikųjų skaičių santykis. Racionalieji ir iracionalieji kartu sudaro realiuosius skaičius.

Tas pats skaičius gali priklausyti kelioms aibėms: kiekvienas sveikasis yra ir racionalusis, o kiekvienas racionalusis – realusis. Šaknis pirmiausia apskaičiuok.

Pavyzdys. −4 yra sveikasis ir racionalusis, nes −4 = −4/1. 0,75 = 3/4 yra racionalusis. √2 – iracionalusis, o √9 = 3 – sveikasis.

Baigtinės ir periodinės dešimtainės trupmenos yra racionaliosios. Begalinė neperiodinė dešimtainė išraiška – iracionalioji.

Šaknis savaime nereiškia iracionalumo: prieš klasifikuodamas supaprastink skaičių.

Su skaičiuotuvu
  • Trupmeną paversk dešimtaine: 3 ÷ 4 = 0,75. Baigtinė dešimtainė trupmena yra racionalusis skaičius.
  • √2 ekrane rodo 1,414213562…, bet ekranas baigtinis: skaičiuotuvas iracionalumo neįrodo.

Potemė

Procentai ir pokyčiai

Pasirink, kuris dydis yra 100 %, ir apskaičiuok pokytį.

p% nuo A=A⋅p100p\%\text{ nuo }A=A\cdot\frac p{100}

Procentas yra viena šimtoji. Norėdamas rasti p % kiekio, daugink kiekį iš p/100.

Pradinė kaina80 €Po 15 % nuolaidos68 €12 €
80 · 0,85 = 68 €.

Padidėjimui p % naudok daugiklį 1 + p/100, sumažėjimui – 1 − p/100. Visada įvardyk pradinį kiekį.

Procentinį pokytį visada lygink su pradiniu tos operacijos kiekiu. Todėl vėlesnė nuolaida skaičiuojama jau nuo pakeistos kainos.

Pavyzdys. 80 € kaina po 15 % nuolaidos: 80 · 0,85 = 68 €. Nuolaida 12 €, o 12/80 · 100 % = 15 %.

Nuoseklių pokyčių daugikliai dauginami: +10 % ir −10 % duoda 1,1 · 0,9 = 0,99, taigi sumažėjimą 1 %.

Pradinį kiekį rask dalydamas iš pokyčio daugiklio: jei po 20 % nuolaidos kaina 72 €, iki nuolaidos ji buvo 72/0,8 = 90 €.

Su skaičiuotuvu
  • 15 % nuolaidai įvesk 80 × 0,85 = 68 – tas pats, kas 80 × (1 − 15 ÷ 100).
  • Pradinei kainai padalyk iš daugiklio: 72 ÷ 0,8 = 90.

Potemė

Reiškinių pertvarkymas

Išskleisk skliaustus, sutrauk panašiuosius narius ir skaidyk reiškinius daugikliais.

(a+b)2=a2+2ab+b2,a2−b2=(a−b)(a+b)(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Veiksmų tvarka: skliaustai, laipsniai, daugyba ir dalyba, sudėtis ir atimtis. Minusas prieš skliaustus keičia kiekvieno nario ženklą.

1 žingsnis2(x + 3) − (x − 4)2 žingsnis2x + 6 − x + 43 žingsnisx + 10
Sujunk panašiuosius narius.

Sutrauk tik panašiuosius narius. Išskaidydamas ieškok bendro daugiklio arba sutrumpintos daugybos formulės.

Pertvarkydamas išsaugai tą pačią reikšmę visiems leistiniems kintamiesiems. Patikrai gali įstatyti paprastą skaičių prieš ir po pertvarkymo.

Pavyzdys. 2(x + 3) − (x − 4) = 2x + 6 − x + 4 = x + 10.

Trupmenoje trumpink bendrus daugiklius, o ne sumos narius. (x² − 9)/(x − 3) = x + 3, kai x ≠ 3.

(a − b)² = a² − 2ab + b². Nepamesk dvigubos sandaugos: (x − 2)² = x² − 4x + 4.

Su skaičiuotuvu
  • Pertvarkymą patikrink įrašęs, pvz., x = 2: 2(2 + 3) − (2 − 4) = 12 ir 2 + 10 = 12.
  • Prieš skaičiuodamas suprastink reiškinį. Skaičiuotuvas gali patikrinti skaitinį pavyzdį, bet neįrodo tapatybės.

Potemė

Dvinario kubas ir skaidymas

Kelk dvinarį kubu ir atpažink kubo formą reiškinyje.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Keliant sumą kubu atsiranda ir mišrieji nariai.

1 žingsnis19³ + 3·19² + 3·19 + 12 žingsnis(19 + 1)³3 žingsnis20³ = 8000
Apskaičiuok paprastesnį kubą.

Skirtumo kubo ženklai kaitaliojasi: a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Koeficientai 1, 3, 3, 1 padeda atpažinti dvinario kubą net kai išraiška atrodo ilga. Patikrink pirmą ir paskutinį kubus.

Pavyzdys. Apskaičiuok 19³ + 3 · 19² + 3 · 19 + 1. Atpažįstame (19 + 1)³. Rezultatas 8000.

Atpažinęs keturis tinkamus narius gali juos sutraukti į dvinario kubą.

Tai trumpesnis kelias nei skaičiuoti kiekvieną didelį laipsnį atskirai.

Su skaičiuotuvu
  • Pirma atpažink dvinario kubą, tada įvesk vieną laipsnį.
  • Pvz., 9³ + 3 × 9² + 3 × 9 + 1 = (9 + 1)³ = 1000.

Potemė

Algebrinės trupmenos ir pradinė sritis

Prastink algebrines trupmenas ir išsaugok pradinę sritį.

x2−a2x−a=x+a,x≠a\frac{x^2-a^2}{x-a}=x+a,\quad x\ne a

Skaidyk skaitiklį ir vardiklį dauginamaisiais; trumpinti galima tik bendrą daugiklį.

1 žingsnis(x² − 1)/(x − 1)2 žingsnis(x−1)(x+1)/(x−1)3 žingsnisx + 1; kai x=3 → 4
Sutrumpintas reiškinys išsaugo pradinę draudžiamą reikšmę.

Užrašyk pradinio vardiklio apribojimus prieš trumpindamas.

Trumpinami daugikliai, o ne atskiri sudėties nariai. Išskaidymas parodo bendrą daugiklį ir išsaugo pradinę draudžiamą reikšmę.

Pavyzdys. Rask (x² − 1)/(x − 1) reikšmę, kai x = 3. Pradinė sritis x ≠ 1; duotas x tinka. Išskaidę sutrumpiname ir gauname x + 1. Reikšmė 3 + 1 = 4.

Sutrumpinus reiškinį pradinės draudžiamos reikšmės lieka draudžiamos.

Suma nėra daugiklis: negalima trumpinti atskirų sudėties narių.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink pradinio ir sutrumpinto reiškinio reikšmes su leistinu x.
  • Dalybą įvesk kaip (visas skaitiklis) ÷ (visas vardiklis).

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Laipsniai ir šaknys Lygtys Tekstiniai uždaviniai Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Skaičiavimai ir algebra

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus