PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis

Modulis

Skaičiaus modulis – jo atstumas nuo nulio skaičių tiesėje. Remdamasis šia prasme mokykis skaičiuoti reiškinių reikšmes ir spręsti lygtis bei nelygybes su moduliu.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

∣x∣={x,x≥0−x,x<0|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}

Pagrindai

Ką verta žinoti

|5| = 5 ir |−5| = 5. Neigiamas skaičius modulio viduje tampa teigiamas.

|x| = a, kai a > 0, turi du sprendinius: x = a ir x = −a.

Jei dešinė pusė neigiama, lygtis |x| = a sprendinių neturi.

Pavyzdys. |x − 2| = 3 → x − 2 = 3 arba x − 2 = −3 → x = 5 arba x = −1.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

|x − a| reiškia atstumą tarp x ir a. Todėl |x − a| < r aprašo intervalą (a − r; a + r), kai r > 0.

Atveriant modulį, pirmiausia nustatyk vidinio reiškinio ženklą kiekviename intervale.

Išspręstas pavyzdys

Atstumas virsta dviguba nelygybe

Spręsk |x − 2| ≤ 3. Tai reiškia: atstumas nuo x iki 2 ne didesnis už 3.

Atstumą užrašyk dviguba nelygybe: −3 ≤ x − 2 ≤ 3.

Prie visų trijų dalių pridėk 2: −1 ≤ x ≤ 5. Atsakymas [−1; 5].

Patikrink kraštus: |−1 − 2| = 3 ir |5 − 2| = 3, todėl abu tinka. Už intervalo, pavyzdžiui ties 6, atstumas 4 ir nelygybė neteisinga.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 6 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Modulio prasmė

Suprask modulį kaip atstumą nuo nulio.

∣x∣={x,x≥0−x,x<0|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}

Modulis – skaičiaus atstumas nuo nulio, todėl jis visada neneigiamas. |5| = |−5| = 5.

xy−4−3−2−1123456−11234560y = |x − 2||−3 − 2| = 5
Kai x < 2, |x − 2| = 2 − x; kai x ≥ 2, |x − 2| = x − 2. Grafikas niekada nenusileidžia žemiau x ašies.

Atverdamas modulį nustatyk vidinio reiškinio ženklą. Jei jis neigiamas, pakeisk viso reiškinio ženklą.

Atstumas negali būti neigiamas. Todėl modulio viduje esantį neigiamą skaičių pakeiti priešingu, o teigiamą palieki tokį patį.

Pavyzdys. Kai x = −3, |x − 2| = |−5| = 5. Kai x < 2, galima rašyti |x − 2| = 2 − x.

|x − a| yra atstumas tarp x ir a. Šitaip galima perskaityti lygtį ar nelygybę skaičių tiesėje.

√(x²) = |x|. Modulis nuo sumos nebūtinai lygus modulių sumai: |2 + (−3)| = 1, o |2| + |−3| = 5.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk Abs(−7) = 7, jei modelis turi Abs. Be jo apskaičiuok modulio vidų ir paimk neneigiamą reikšmę.
  • Patikrink √((−7)²) = 7. Rezultatas negali būti −7.

Potemė

Atstumas tarp skaičių

Suprask modulį kaip atstumą skaičių tiesėje.

d(a,b)=∣a−b∣d(a,b)=|a-b|

Modulis yra atstumas iki nulio, todėl jis neneigiamas.

x−104atstumas 5
|−1 − 4| = 5: nuo −1 iki 0 yra 1 vienetas, nuo 0 iki 4 – dar 4.

Atstumas tarp dviejų skaičių lygus jų skirtumo moduliui.

Skirtumas gali būti neigiamas, tačiau atstumas visada neneigiamas. Modulis leidžia gauti tą patį atstumą nesvarbu, kurį skaičių atimsi pirmą.

Pavyzdys. Rask atstumą skaičių tiesėje tarp −1 ir 4. Skaičiai skirtingose nulio pusėse. Atstumas 1 + 4 = 5.

Nesvarbu, kurį skaičių atimsi pirmą: |a − b| = |b − a|.

Jei skaičiai skirtingose nulio pusėse, atstumas lygus jų modulių sumai.

Su skaičiuotuvu
  • Jei yra Abs, įvesk Abs(a − b). Jei nėra, atimk ir paimk neneigiamą reikšmę.
  • Pvz., nuo −3 iki 5: 5 − (−3) = 8.

Potemė

Lygtys su moduliu

Atskirai išnagrinėk teigiamą ir neigiamą atvejus.

∣f(x)∣=a  ⟺  f(x)=a arba f(x)=−a(a≥0)|f(x)|=a\iff f(x)=a\ \text{arba}\ f(x)=-a\quad(a\ge0)

Kai dešinė pusė teigiama, spręsk dvi lygtis: vidinis reiškinys lygus tai reikšmei arba jos priešingam skaičiui.

xy−5−4−3−2−11234561234567890y = |2x − 1|x = −3x = 4
Tiesė y = 7 kerta modulio grafiką dviejuose taškuose – todėl ir sprendinių du: x = −3 ir x = 4.

Jei dešinė pusė nulis, vidinis reiškinys turi būti nulis. Jei dešinė pusė neigiama, sprendinių nėra.

Lygtis |u| = r ieško visų taškų, nutolusių nuo nulio per r. Kai r > 0, tokie taškai yra du: r ir −r.

Pavyzdys. |2x − 1| = 7 → 2x − 1 = 7 arba 2x − 1 = −7 → x = 4 arba x = −3.

Kai dešinėje yra reiškinys, pirmiausia reikalauk, kad jis būtų neneigiamas. Kandidatus tikrink pradinėje lygtyje.

Pavyzdžiui, |x − 2| = x reikalauja x ≥ 0. Iš atvejų gauname tik x = 1; lygtis x − 2 = x neįmanoma.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk Abs(−7) = 7, jei modelis turi Abs. Be jo apskaičiuok modulio vidų ir paimk neneigiamą reikšmę.
  • Patikrink √((−7)²) = 7. Rezultatas negali būti −7.

Potemė

Kvadratinė šaknis ir modulis

Suprask, kodėl √(a²) lygu |a|, o ne visada a.

a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|

Kvadratinė šaknis žymi neneigiamą reikšmę.

1 žingsnis2 − 4 = −22 žingsnis√((−2)²) = |−2| = 23 žingsnis2 + |−1| = 2 + 1 = 3
Sudėk abi modulio reikšmes.

Todėl √(a²) = |a|; jei a < 0, rezultatas −a.

Pakėlus kvadratu prarandamas pradinis ženklas. Kvadratinė šaknis grąžina neneigiamą reikšmę, todėl √(a²) yra |a|.

Pavyzdys. Apskaičiuok √((2 − 4)²) + |−1|. Šaknis lygi |−2| = 2. Suma 2 + 1 = 3.

Pirma nustatyk reiškinio po moduliu ženklą.

√((x − c)²) lygu c − x, kai x < c, ir x − c, kai x ≥ c.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk √((−4)²), gausi 4.
  • Patikrink, kad neigiamas skaičius būtų skliaustuose prieš kėlimą kvadratu.

Potemė

Keli moduliai ir ženklų analizė

Apskaičiuok reiškinius su keliais moduliais be ženklo klaidų.

∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣|a|+|b|\ge|a+b|

Kiekvieno modulio vidų apskaičiuok atskirai.

1 žingsnisx = −12 žingsnis|−3| + |3| − |−2|3 žingsnis3 + 3 − 2 = 4
Moduliai reiškia neneigiamus atstumus.

Modulio negalima tiesiog paskirstyti sumai: |a + b| paprastai nelygu |a| + |b|.

Skirtingi moduliai žymi skirtingus atstumus, tad jų vidų tvarkyk atskirai. Tik tada sudėk arba atimk gautas neneigiamas reikšmes.

Pavyzdys. Kai x = −1, apskaičiuok |x − 2| + |x + 4| − |2x|. Pirmas modulis 3, antras 3, trečias 2. Rezultatas 3 + 3 − 2 = 4.

Kai reiškinyje yra kintamasis, skaičių tiesę dalyk ties modulio vidaus nuliais.

Kiekviename intervale atskirai nuspręsk, kuriuos reiškinius reikia pakeisti priešingais.

Su skaičiuotuvu
  • Naudok atskirus Abs kiekvienam moduliui arba pirma apskaičiuok jų vidų.
  • Patikra: |−3| + |2| − |−3 + 2| = 4.

Potemė

Modulio nelygybė kaip atstumo sąlyga

Spręsk modulio nelygybes kaip atstumo sąlygas skaičių tiesėje.

∣x−c∣≤r  ⟺  c−r≤x≤c+r|x-c|\le r\iff c-r\le x\le c+r

Kai r ≥ 0, |x − c| ≤ r reiškia atstumą iki c ne didesnį už r.

x−214|x − 1| ≤ 3
Visi skaičiai, nutolę nuo 1 ne daugiau kaip 3 vienetais: 3 į kairę ir 3 į dešinę, [−2; 4].

Kai nelygybė griežta, intervalo galų neįtrauk.

Nelygybė |x − c| ≤ r aprašo visus taškus ne toliau kaip r nuo centro c. Atsakymas yra intervalas aplink c.

Pavyzdys. Išspręsk |x − 1| ≤ 3. Atstumas iki 1 ne didesnis už 3. −2 ≤ x ≤ 4.

Sąlyga |x − c| > r, kai r ≥ 0, aprašo dvi išorines sritis.

Jei r neigiamas, atskirai įvertink neneigiamo modulio ir neigiamo skaičiaus palyginimą.

Su skaičiuotuvu
  • Riboms įvesk c − r ir c + r.
  • Įstatyk intervalo vidurį ir ribas į pradinį modulį.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Lygtys Nelygybės Funkcijos Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Modulis

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus