PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A ir B kursai · VBE I dalis

Sekos ir progresijos

Seka – tam tikra tvarka surašyti skaičiai. Išmok atpažinti aritmetinę ir geometrinę progresijas, apskaičiuoti jų narius bei narių sumas.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d

Pagrindai

Ką verta žinoti

Aritmetinėje progresijoje kaskart pridedamas tas pats skirtumas d.

Geometrinėje progresijoje kaskart dauginama iš to paties santykio q.

Iki n-ojo nario yra n − 1 perėjimų, todėl bₙ gausi b₁ padauginęs iš q, pakelto (n − 1) laipsniu.

Pavyzdys. Sekoje 4, 7, 10, … skirtumas d = 3, todėl a₅ = 4 + 4 · 3 = 16.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

Geometrinės progresijos Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), kai q ≠ 1. Kai q = 1, visi nariai vienodi, todėl Sₙ = nb₁.

Išspręstas pavyzdys

Geometrinės progresijos suma

Duota b₁ = 3 ir q = 2. Rask pirmųjų keturių narių sumą.

Užrašyk narius: 3, 6, 12, 24. Jų suma 3 + 6 + 12 + 24 = 45.

Patikrink formule: S₄ = 3(2⁴ − 1)/(2 − 1) = 3 · 15 = 45. Nario b₄ = 24 nepainiok su suma S₄ = 45.

Jei q = 1, formulės su vardikliu q − 1 netaikyk. Visi nariai tuomet lygūs b₁, todėl Sₙ = nb₁.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 7 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Sekos nariai ir rekurentinė taisyklė

Skaičiuok sekos narius žingsnis po žingsnio pagal taisyklę.

an+1=an+da_{n+1}=a_n+d

Sekos nario numeris ir jo reikšmė yra skirtingi dalykai.

1 žingsnisa₁ = 12 žingsnisa₂=4; a₃=7; a₄=103 žingsnisa₅ = 13
Nuo a₁ iki a₅ yra keturi perėjimai.

Rekurentinė taisyklė duoda kitą narį iš ankstesnio; reikia žinoti pradinį narį.

Rekurentinė taisyklė pati nepasako pirmojo nario. Nuo duotos pradžios ją pritaikyk tiek kartų, kiek yra perėjimų iki ieškomo numerio.

Pavyzdys. a₁ = 1, aₖ₊₁ = aₖ + 3. Rask a₅. Penktą narį gauname po keturių perėjimų. a₅ = 1 + 4 · 3 = 13.

Nuo pirmojo iki penktojo nario pereinama keturis kartus.

Prieš taikydamas progresijos formulę patikrink, ar skirtumas arba santykis pastovus.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk pirmą narį, tada Ans + d; kartok tik tiek kartų, kiek reikia perėjimų.
  • Užrašyk narių numerius – taip išvengsi vieno papildomo paspaudimo.

Potemė

Aritmetinė progresija

Atpažink pastovų skirtumą ir rask narių sumą.

an=a1+(n−1)d,Sn=n(a1+an)2a_n=a_1+(n-1)d,\quad S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2

Aritmetinėje progresijoje kiekvienas kitas narys gaunamas pridėjus tą patį d. Jis gali būti ir neigiamas ar nulis.

xy1234567481216200a₁ = 4a₆ = 19
Kiekvienas žingsnis prideda d = 3, todėl taškai (n; aₙ) guli vienoje tiesėje.

Nuo pirmo iki n-ojo nario yra n − 1 žingsnių. Sumai daugink narių skaičių iš pirmo ir paskutinio nario vidurkio.

Pastovus skirtumas reiškia tiesinį augimą: kiekvienas naujas žingsnis prideda tiek pat. Suma priklauso nuo narių skaičiaus ir jų vidurkio.

Pavyzdys. a₁ = 4, d = 3. a₆ = 4 + 5 · 3 = 19. S₆ = 6(4 + 19)/2 = 69.

Kai žinai du narius, d = (aₙ − aₘ)/(n − m), jei n ≠ m.

Trys gretimi nariai tenkina 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁: vidurinis lygus kraštinių aritmetiniam vidurkiui.

Su skaičiuotuvu
  • Aritmetinei progresijai su a₁ = 3, d = 2, n = 10 įvesk 10 × (2 × 3 + 9 × 2) ÷ 2 = 120.
  • Geometrinei sumai su b₁ = 3, q = 2, n = 4 įvesk 3 × (2⁴ − 1) ÷ (2 − 1) = 45.

Potemė

Geometrinė progresija

Atpažink pastovų gretimų narių santykį.

bn=b1qn−1,Sn=b1qn−1q−1 (q≠1)b_n=b_1q^{n-1},\quad S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}\ (q\ne1)

Geometrinėje progresijoje kiekvienas kitas narys gaunamas padauginus iš to paties q. Santykį rask dalydamas gretimus nenulinius narius.

xy1234548121620240361224
Kas žingsnį narys padauginamas iš q = 2, todėl taškai kyla vis stačiau, o ne tiese.

Iki n-ojo nario dauginama n − 1 kartą. Kai q = 1, visi nariai vienodi ir Sₙ = nb₁.

Pastovus santykis reiškia dauginamąjį pokytį: kiekvienas žingsnis pakeičia dydį tuo pačiu koeficientu. Tai skiriasi nuo pastovaus prieaugio.

Pavyzdys. b₁ = 3, q = 2. Pirmi keturi nariai: 3, 6, 12, 24. S₄ = 3(2⁴ − 1)/(2 − 1) = 45.

Kai q < 0, nenulinių narių ženklai kaitaliojasi. Kai 0 < q < 1 ir b₁ > 0, nariai mažėja.

Nuoseklus augimas p % atitinka q = 1 + p/100. Skaičiuok pokyčių skaičių: po n pokyčių kiekis lygus pradiniam kiekiui kart qⁿ.

Su skaičiuotuvu
  • Aritmetinei progresijai su a₁ = 3, d = 2, n = 10 įvesk 10 × (2 × 3 + 9 × 2) ÷ 2 = 120.
  • Geometrinei sumai su b₁ = 3, q = 2, n = 4 įvesk 3 × (2⁴ − 1) ÷ (2 − 1) = 45.

Potemė

Aritmetinės progresijos suma

Greitai sudėk daug aritmetinės progresijos narių.

Sn=n(a1+an)2S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2

Suma Sₙ apima visus pirmuosius n narių; aₙ yra tik paskutinis.

1 žingsnisa₃=5, a₇=13 → d=22 žingsnisa₁=1, a₁₀=193 žingsnisS₁₀=10(1+19)/2=100
Kraštinių narių vidurkį padaugink iš narių skaičiaus.

Pirma rask paskutinį narį, tada daugink kraštinių narių vidurkį iš n.

Aritmetinėje progresijoje vienodai nuo abiejų galų nutolusių narių sumos yra vienodos. Todėl pirmojo ir paskutiniojo vidurkis lygus visų narių vidurkiui.

Pavyzdys. Aritmetinėje progresijoje a₃ = 5, a₇ = 13. Rask S₁₀. d = (13 − 5)/4 = 2. a₁ = 1, a₁₀ = 19. S₁₀ = 10(1 + 19)/2 = 100.

Kai žinai du narius, skirtumą rask padalydamas reikšmių skirtumą iš numerių skirtumo.

Jei skaičiuoji narius nuo aₚ iki aᵣ, jų skaičius yra r − p + 1.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk n × (a1 + an) ÷ 2.
  • Patikrai gali sudėti pirmus kelis narius ranka ir palyginti su formule.

Potemė

Geometrinės progresijos suma

Sudėk geometrinės progresijos narius viena formule.

Sn=b1qn−1q−1(q≠1)S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}\quad(q\ne1)

Geometrinės progresijos gretimų narių santykis q pastovus.

1 žingsnisb₂=2, q=2 → b₁=12 žingsnis1 + 2 + 4 + 8 + 163 žingsnisS₅=(2⁵−1)/(2−1)=31
Pritaikyk geometrinės progresijos sumos formulę.

Sumos formulėje yra qⁿ; n-ojo nario formulėje q pakeltas n − 1 laipsniu.

Sumos formulė sudeda n narių, todėl joje atsiranda qⁿ. Nario formulė pasiekia n-ąjį narį po n − 1 dauginimų.

Pavyzdys. Geometrinės progresijos b₂ = 2, q = 2. Rask S₅. b₁ = 2/2 = 1. S₅ = 1(32 − 1)/(2 − 1) = 31.

Jei q = 1, sumą skaičiuok Sₙ = nb₁.

Neigiamam q narių ženklai kaitaliojasi; laipsnį skaičiuok su skliaustais.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk b1 × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1).
  • Skliaustais apgaubk ir skaitiklį, ir vardiklį.

Potemė

Kaupimas ir kelių etapų progresijos

Taikyk progresijas taupymo ir kaupimo uždaviniuose.

Sn=a1+(a1+d)+⋯+anS_n=a_1+(a_1+d)+\cdots+a_n

Atskirk vieno laikotarpio įmoką nuo bendros sukauptos sumos.

1 žingsnis10; 15; 20; 25; 30; 352 žingsnisS₆=6(10+35)/2=1353 žingsnis135 − 30 = 105 €
Išlaidą atimk tik nuo sukauptos sumos.

Jei įmoka kas mėnesį didėja tuo pačiu dydžiu, taikyk aritmetinę progresiją.

Sukaupta suma nėra paskutinė įmoka: joje yra visi ankstesni laikotarpiai. Vėlesnes išlaidas atimk tik suskaičiavęs visą sumą.

Pavyzdys. Pirmą mėnesį atidedi 10 €, kiekvieną kitą – 5 € daugiau. Po 6 mėnesių išleidi 30 €. Kiek eurų lieka? Šešta įmoka 35 €. S₆ = 6(10 + 35)/2 = 135 €. Lieka 135 − 30 = 105 €.

Pastovus procentinis augimas reiškia geometrinę progresiją.

Palūkanoms ir periodinėms įmokoms pirmiausia užrašyk pinigų judėjimo laiką – ne visos įmokos auga vienodai ilgai.

Su skaičiuotuvu
  • Įmokų sumą skaičiuok n ÷ 2 × (2a1 + (n − 1)d).
  • Išlaidas atimk tik susumavęs įmokas; galutiniam pinigų kiekiui naudok du skaitmenis po kablelio.

Potemė

Nykstamoji geometrinė progresija

Išsiaiškink, kada begalinės geometrinės progresijos suma yra baigtinė.

S=b11−q,∣q∣<1S=\frac{b_1}{1-q},\quad |q|<1

Begalinė geometrinė suma turi baigtinę reikšmę tik tada, kai |q| < 1.

xy12345670,511,522,50S = 2S₁ = 1S₂ = 1,5
Kiekviena nauja dalinė suma perpus sumažina atstumą iki 2. Sumos artėja prie 2, bet jo neviršija.

Pirmasis narys yra pirmas sumuojamas dydis, ne dydis prieš pirmą sumažėjimą.

Kiekvienas naujas narys artėja prie nulio, bet jų visų suma gali būti baigtinė. Tai vyksta tik tada, kai santykio modulis mažesnis už 1.

Pavyzdys. Apskaičiuok begalinę sumą 1 + 0,5 + 0,25 + … . Kiekvienas kitas narys perpus mažesnis. q = 1/2, todėl |q| < 1. S = 1/(1 − 1/2) = 2.

Baigtinės progresijos sumos ir begalinės sumos formulės nėra sukeičiamos.

Periodinę dešimtainę trupmeną galima išreikšti tokia suma arba lygtimi.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk b1 ÷ (1 − q).
  • Patikrai susumuok pirmus kelis narius: kai q teigiamas, jie turi artėti prie sumos iš apačios.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Funkcijos Laipsniai ir šaknys Skaičiavimų kartojimas Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Sekos ir progresijos

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus