PliusMinus Pradėti nemokamai

12 klasė · A ir B kursai · VBE II dalis

Skaičiavimų kartojimas

Pakartok laipsnius, šaknis, logaritmus, procentinius pokyčius ir trigonometrines reikšmes. Šias žinias pritaikysi spręsdamas VBE II dalies uždavinius.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

amn=amn,log⁡ab=c  ⟺  ac=b,Sn=S0(1+p100)na^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m},\quad \log_ab=c\iff a^c=b,\quad S_n=S_0\left(1+\tfrac p{100}\right)^n

Pagrindai

Ką verta žinoti

Trupmeninis rodiklis – šaknis ir laipsnis.

Logaritmas – rodiklis, kuriuo keliamas pagrindas.

Sudėtiniai procentai – kartotinė daugyba.

Pavyzdys. 8 laipsniu 2/3 = (∛8)² = 4; log₂ 8 = 3; 1000 · 1,05² = 1102,5.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Procentų pokytis skaičiuojamas nuo pradinės reikšmės.

Trigonometrinės reikšmės ženklas priklauso nuo ketvirčio.

Išspręstas pavyzdys

Kodėl +20 % ir −20 % pokyčiai negrąžina pradinės reikšmės

Kaina 200 €.

Padidinus 20 %: 200 · 1,2 = 240 €.

Sumažinus 20 %: 240 · 0,8 = 192 €.

Antrasis pokytis skaičiuotas nuo didesnės sumos.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 5 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Kartojimas: laipsniai ir šaknys

Pakartok laipsnius su racionaliuoju rodikliu, šaknų prastinimą ir iracionalumo naikinimą vardiklyje.

amn=amn,a−n=1an,a2b=∣a∣ba^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad \sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b

Trupmeninio rodiklio vardiklis – šaknies laipsnis, skaitiklis – kėlimo laipsnis: 27 laipsniu 2/3 = (∛27)² = 9.

Reiškinys(√5 − 1)(√5 + 1)Kvadratų skirtumas(√5)² − 1²Rezultatas5 − 1 = 4
Skaičiavome tiksliai; apytikslės šaknies reikšmės nereikėjo.

Šaknį prastink iškeldamas daugiklį, kuris yra sveikojo skaičiaus kvadratas: √50 = √(25 · 2) = 5√2.

Pavyzdys. √50 + √8 − √18 = 5√2 + 2√2 − 3√2 = 4√2. Sudedamos tik vienodos šaknys.

Neigiamas rodiklis reiškia atvirkštinį skaičių: 8 laipsniu −2/3 = 1/4.

Iracionalumą vardiklyje naikink daugindamas iš tos pačios šaknies: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

√(a + b) apskritai nelygu √a + √b.

Su skaičiuotuvu
  • Laipsniui įvesk 27, paspausk laipsnio mygtuką ir rodiklį (2 ÷ 3) – visas rodiklis skliaustuose.
  • Šaknų atsakymą palik tikslų, pvz., 4√2; skaičiuotuvu tik patikrink ≈ 5,657.

Potemė

Kartojimas: logaritmai

Pakartok logaritmo apibrėžimą, savybes ir paprasčiausias logaritmines lygtis.

log⁡ab=c  ⟺  ac=b,log⁡a(uv)=log⁡au+log⁡av,log⁡auv=log⁡au−log⁡av\log_ab=c\iff a^c=b,\qquad \log_a(uv)=\log_au+\log_av,\qquad \log_a\frac uv=\log_au-\log_av

logₐ b – laipsnis, kuriuo reikia pakelti pagrindą a, kad gautum b: log₃ 81 = 4, nes 3⁴ = 81.

Reiškinyslog₂ 4 + log₂ 8Sandaugos savybėlog₂(4 · 8) = log₂ 32Patikralog₂ 32 = 5; 2 + 3 = 5
Ir sujungus, ir apskaičiavus atskirai gaunamas tas pats rodiklis.

Logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, skirtumas – dalmens logaritmui.

Pavyzdys. log₂ 40 − log₂ 5 = log₂(40/5) = log₂ 8 = 3.

Logaritmo pagrindas teigiamas ir nelygus 1, o logaritmuojamas skaičius teigiamas.

Logaritminėje lygtyje pirmiausia užrašyk sritį, o gautus sprendinius su ja palygink.

lg reiškia pagrindą 10, ln – pagrindą e.

Su skaičiuotuvu
  • Pasirinktinį pagrindą skaičiuok log(81) ÷ log(3) = 4.
  • Patikrink atgal laipsnio mygtuku: 3⁴ = 81.

Potemė

Kartojimas: trigonometrinės reikšmės ir radianai

Pakartok laipsnių ir radianų sąryšį, tikslias sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes.

180∘=π rad,sin⁡2α+cos⁡2α=1180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Laipsnius paversk radianais daugindamas iš π/180, radianus laipsniais – iš 180/π.

xy1−11−1IIIIIIIVcos αsin α150°
150° yra II ketvirtyje, atskaitos kampas 30°. Sinusas teigiamas: sin 150° = 1/2, kosinusas neigiamas.

Ženklą parink pagal ketvirtį: I – visos teigiamos, II – tik sinusas, III – tik tangentas, IV – tik kosinusas.

Pavyzdys. sin 150°: atskaitos kampas 30°, II ketvirtyje sinusas teigiamas, todėl sin 150° = 1/2.

Iš sin α ir ketvirčio rask cos α: cos²α = 1 − sin²α, ženklas pagal ketvirtį.

tg α = sin α/cos α; jis teigiamas I ir III ketvirčiuose.

Lentelės 30°, 45°, 60° reikšmes verta mokėti atmintinai.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink DEG režimu: sin(150) = 0,5.
  • Radianams naudok RAD režimą; π rasi atskiru mygtuku.

Potemė

Kartojimas: procentai ir sudėtinės palūkanos

Pakartok procentinius pokyčius, sudėtines palūkanas ir pokyčio procentų radimą.

Sn=S0(1+p100)nS_n=S_0\left(1+\frac p{100}\right)^n

Padidėjimas p % – daugyba iš 1 + p/100, sumažėjimas – iš 1 − p/100.

Pradžia100 €Padidėjimas 20 %100 · 1,2 = 120 €Sumažėjimas 20 %120 · 0,8 = 96 €
Vienodi procentai nepanaikino vienas kito. Galutinė kaina 4 % mažesnė už pradinę.

Sudėtinės palūkanos kasmet skaičiuojamos nuo naujos sumos, todėl po n metų dauginama iš (1 + p/100)ⁿ.

Pavyzdys. 1000 € kasmet auga 5 %. Po 3 metų: 1000 · 1,05³ = 1157,625 ≈ 1157,63 €.

Padidinus 20 % ir sumažinus 20 %, pradinė kaina negrįžta: 1,2 · 0,8 = 0,96.

Pokytis procentais skaičiuojamas nuo pradinės reikšmės: (nauja − sena)/sena · 100 %.

Pinigines sumas apvalink iki centų tik galutiniame rezultate.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk 1000 × 1,05³ (kubą – laipsnio mygtuku).

Potemė

Kartojimas: intervalai ir modulis

Pakartok intervalų sankirtą ir sąjungą, lygtis bei nelygybes su moduliu.

∣x−a∣≤r  ⟺  a−r≤x≤a+r|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r

Sankirta – taškai, priklausantys abiem intervalams; sąjunga – bent vienam.

x−11,54|2x − 3| ≤ 5
Atstumas nuo 2x iki 3 ne didesnis už 5, todėl x yra nuo −1 iki 4 imtinai. Vidurys 1,5 – taškas, kuriame modulis lygus nuliui.

Modulis – atstumas iki nulio, todėl |x − a| ≤ r reiškia atstumą iki a ne didesnį už r.

Pavyzdys. |2x − 3| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2x − 3 ≤ 5 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4. Atsakymas [−1; 4].

Griežta nelygybė – apvalūs skliaustai, negriežta – laužtiniai; prie begalybės visada apvalus.

Lygtis |f(x)| = a (a > 0) skyla į f(x) = a arba f(x) = −a.

Lygtyje |f(x)| = g(x) reikia sąlygos g(x) ≥ 0 – sprendinius patikrink.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink intervalo galą: |2 · 4 − 3| = 5 ≤ 5.
  • Įstatyk po vieną tašką iš intervalo ir už jo.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Laipsniai ir šaknys Logaritmai Sekos ir progresijos Šios temos formulės Matematika 12 klasei Visos temos

Skaičiavimų kartojimas

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus