PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · B kursas · VBE I dalis

Skaičiai ir skaičiavimai

Mokykis taikyti procentus, santykius ir proporcijas kasdienėse situacijose. Pasirink pradinį kiekį, suderink matavimo vienetus ir apvalink reikiamu tikslumu.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

p%=p100p\%=\frac{p}{100}

Pagrindai

Ką verta žinoti

Norėdamas rasti p % skaičiaus, daugink jį iš p/100.

Santykyje 2 : 3 iš viso yra 5 dalys. Visą kiekį padalyk iš 5.

Apvalindamas tikrink kitą skaitmenį: jei jis bent 5, paliekamą skaitmenį didink vienetu.

Pavyzdys. 20 % skaičiaus 80 yra 80 · 0,2 = 16. Sumažinus skaičių 80 20 %, lieka 64.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Procentinis pokytis skaičiuojamas nuo pradinės reikšmės: (nauja − sena)/sena · 100 %.

Du nuoseklūs procentiniai pokyčiai dauginami. Pabrangimas 10 %, tada atpigimas 10 % reiškia 1,1 · 0,9 = 0,99 pradinės kainos.

Išspręstas pavyzdys

Vienodi priešingi procentai neatsveria vienas kito

Prekė kainuoja 100 €. Kainą padidinus 20 %, gauname 100 · 1,2 = 120 €.

Dabar kainą mažiname 20 %, tačiau šį kartą procentą skaičiuojame nuo 120 €, ne nuo 100 €.

Nauja kaina 120 · 0,8 = 96 €. Bendras daugiklis 1,2 · 0,8 = 0,96.

Nuo pradinės kainos liko 96 %, todėl ji sumažėjo 4 %. Prieš kiekvieną procentinį veiksmą įvardyk, nuo kurios sumos skaičiuoji.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 5 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Procentai ir pokyčiai

Pasirink, kuris dydis yra 100 %, ir apskaičiuok pokytį.

p% nuo A=A⋅p100p\%\text{ nuo }A=A\cdot\frac p{100}

Procentas yra viena šimtoji. Norėdamas rasti p % kiekio, daugink kiekį iš p/100.

Pradinė kaina80 €Po 15 % nuolaidos68 €12 €
80 · 0,85 = 68 €.

Padidėjimui p % naudok daugiklį 1 + p/100, sumažėjimui – 1 − p/100. Visada įvardyk pradinį kiekį.

Procentinį pokytį visada lygink su pradiniu tos operacijos kiekiu. Todėl vėlesnė nuolaida skaičiuojama jau nuo pakeistos kainos.

Pavyzdys. 80 € kaina po 15 % nuolaidos: 80 · 0,85 = 68 €. Nuolaida 12 €, o 12/80 · 100 % = 15 %.

Nuoseklių pokyčių daugikliai dauginami: +10 % ir −10 % duoda 1,1 · 0,9 = 0,99, taigi sumažėjimą 1 %.

Pradinį kiekį rask dalydamas iš pokyčio daugiklio: jei po 20 % nuolaidos kaina 72 €, iki nuolaidos ji buvo 72/0,8 = 90 €.

Su skaičiuotuvu
  • 15 % nuolaidai įvesk 80 × 0,85 = 68 – tas pats, kas 80 × (1 − 15 ÷ 100).
  • Pradinei kainai padalyk iš daugiklio: 72 ÷ 0,8 = 90.

Potemė

Skliaustai, trupmenos ir skaičiuotuvas

Išmok teisingai įvesti trupmenas ir reiškinius su skliaustais į skaičiuotuvą.

a+bc+d\frac{a+b}{c+d}

Sudėtingesnę išraišką suskaidyk į skaitiklį ir vardiklį.

1 žingsnis(6 + 12)/(2 + 1)2 žingsnis18 / 33 žingsnis6
Padalyk skaitiklį iš vardiklio.

Skaičiuotuve įvesk skliaustus taip, kad jie atitiktų trupmenos brūkšnį.

Trupmenos brūkšnys veikia kaip skliaustai aplink visą skaitiklį ir vardiklį. Be jų skaičiuotuvas gali atlikti veiksmus kita tvarka.

Pavyzdys. Apskaičiuok (6 + 12)/(2 + 1). Skaitiklis 18, vardiklis 3. Dalmuo 6.

Veiksmų tvarka: skliaustai, laipsniai, daugyba ir dalyba, sudėtis ir atimtis.

Ans išsaugo paskutinį rezultatą – nurašant suapvalintą skaičių tikslumas prarandamas.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk (12 + 6) ÷ (2 + 1) = 6.
  • 12 + 6 ÷ 2 + 1 duotų 16 – tai jau kita išraiška. Dešimtainį skirtuką rinkis pagal savo modelį.

Potemė

Santykiai ir proporcijos

Palygink kiekius ir padalyk visumą dalimis.

ab=cd  ⟺  ad=bc(b,d≠0)\frac ab=\frac cd\iff ad=bc\quad(b,d\ne0)

Santykis 2 : 3 reiškia dvi vieno kiekio dalis ir tris kito. Visumą sudaro penkios tokios dalys.

Visuma60Santykis 2 : 32436
2 + 3 = 5 dalys; 60/5 = 12.

Proporcijoje kraštinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai. Pirmiausia suvienodink vienetus.

Santykio dalys dar nėra tikrieji kiekiai. Pirma nustatyk vienos dalies dydį, tada kiekvieną santykio narį padaugink iš jo.

Pavyzdys. 60 padalyti santykiu 2 : 3: viena dalis 60/5 = 12, todėl kiekiai 24 ir 36.

Tiesioginis proporcingumas: y = kx, santykis y/x pastovus, kai x ≠ 0.

Atvirkštinis proporcingumas: y = k/x, sandauga xy pastovi. Pavyzdžiui, tam pačiam atstumui dvigubas greitis reiškia perpus trumpesnį laiką.

Su skaičiuotuvu
  • Santykiui 2 : 3 įvesk 60 ÷ 5 = 12, tada 12 × 2 = 24 ir 12 × 3 = 36.
  • Proporcijai 3/x = 4/10 įvesk 3 × 10 ÷ 4 = 7,5.

Potemė

Apytiksliai skaičiavimai

Apvalink reikiamu tikslumu ir įvertink paklaidą.

Δ=∣xapyt.−xtiksl.∣\Delta=|x_{\text{apyt.}}-x_{\text{tiksl.}}|

Apvalindamas tikrink pirmą atmetamą skaitmenį: jei jis bent 5, paskutinį paliekamą didink vienetu.

1 žingsnis7,346 → 7,352 žingsnis|7,35 − 7,346|3 žingsnis0,004
Apskaičiuok skirtumo modulį.

Skaičiavimų viduryje palik daugiau skaitmenų. Iki prašyto tikslumo apvalink galutinį atsakymą.

Apvalinimas pakeičia tikslią reikšmę artima reikšme. Kuo anksčiau apvalinsi tarpinius skaičius, tuo didesnė gali būti galutinė paklaida.

Pavyzdys. 7,346 suapvalinus iki šimtųjų gauname 7,35. Absoliučioji paklaida |7,35 − 7,346| = 0,004.

Apvalinant iki šimtųjų didžiausia absoliučioji paklaida yra 0,005. Tikslumo vieneto pusė duoda paklaidos ribą.

Santykinė paklaida = absoliučioji paklaida / |tikslioji reikšmė|, kai ji nelygi nuliui. Padauginęs iš 100 % gausi procentinę paklaidą.

Su skaičiuotuvu
  • Santykinei paklaidai įvesk 0,004 ÷ 7,346 × 100 ≈ 0,054 (%).
  • Naudok Ans tarpiniams rezultatams. Apvalink iki prašomo tikslumo tik paskutinį rezultatą.

Potemė

Nuoseklūs procentiniai pokyčiai

Skaičiuok kelis procentinius pokyčius iš eilės.

K=K0(1+p/100)(1−q/100)K=K_0(1+p/100)(1-q/100)

Kiekvienas procentinis pokytis taikomas tuo metu esančiai sumai.

Pradžioje100 €Po +20 %100 €+20 €Po −10 %108 €−12 €
100 · 1,2 · 0,9 = 108 €.

Dvi nuolaidos nesudedamos: daugink jų koeficientus.

Antras procentinis pokytis skaičiuojamas nuo jau pakitusios kainos. Du koeficientai kartu parodo bendrą poveikį be tarpinių procentų sudėties.

Pavyzdys. Prekė kainavo 100 €. Kaina pakilo 20 %, tada sumažėjo 10 %. Kokia galutinė kaina eurais? Po padidinimo 120 €. Po nuolaidos 120 · 0,9 = 108 €.

Po padidinimo ir sumažinimo tuo pačiu procentu į pradinę sumą paprastai negrįžtama.

Pradinį dydį rask dalydamas galutinį iš viso pokyčio koeficiento.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk pradinė kaina × 1,2 × 0,9.
  • Apvalink iki centų tik gale; palygink su pradine kaina ir apskaičiuok bendrą procentinį pokytį.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Tekstiniai uždaviniai Laipsniai ir šaknys Skaičiavimų kartojimas Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Skaičiai ir skaičiavimai

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus