PliusMinus Pradėti nemokamai

11 klasė · A kursas · VBE I dalis

Geometrija: vektoriai

Vektorius apibūdina poslinkio kryptį ir ilgį. Mokykis atlikti veiksmus su vektoriais, skaičiuoti jų ilgius ir taikyti koordinates geometrijos uždaviniuose.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

∣v⃗∣=x2+y2|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2}

Pagrindai

Ką verta žinoti

Vektorius iš A į B: iš B koordinačių atimk A koordinates.

Vektorius sudėk ir atimk pagal atitinkamas koordinates.

Ilgis yra neneigiamas: √(x² + y²).

Pavyzdys. u = (2; 1), v = (3; −1). Tuomet u + v = (5; 0).

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Padauginus vektorių iš k, abi koordinatės dauginamos iš k. Kai k < 0, kryptis apsiverčia.

Skaliarinė sandauga u · v = uₓvₓ + uᵧvᵧ. Du nenuliniai vektoriai statmeni, kai ši sandauga lygi nuliui.

Išspręstas pavyzdys

Skaliarinė sandauga ir statmenumas

Duoti u = (2; −1) ir v = (3; 4). Skaliarinė sandauga gaunama sudauginus atitinkamas koordinates ir sudėjus.

u · v = 2 · 3 + (−1) · 4 = 6 − 4 = 2. Kadangi sandauga nelygi nuliui, šie nenuliniai vektoriai nėra statmeni.

Palygink su w = (1; 2): u · w = 2 · 1 + (−1) · 2 = 0. Vektoriai u ir w statmeni.

Neprarask koordinačių ženklų. Skaliarinė sandauga yra skaičius, o vektorių suma – vektorius su koordinatėmis.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 10 potemių. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Veiksmai su vektoriais

Sudėk ir atimk vektorius bei daugink juos iš skaičiaus.

(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)

Vektorius turi kryptį ir ilgį. Kai vektoriai užrašyti koordinatėmis, sudėk arba atimk atitinkamas jų koordinates.

xy−3−2−11234−4−3−2−1123450uvu + v
Sudėdamas vektorių v atidėk nuo u galo: suma u + v = (1; 1) veda nuo pradžios iki antrojo vektoriaus galo.

Dauginant iš k, abi koordinatės dauginamos iš k. Neigiamas k apsuka kryptį.

Vektorius gali perkelti lygiagrečiai: jo koordinatės nesikeičia, jei išlieka tas pats poslinkis ir kryptis. Sudėtis sujungia du tokius poslinkius.

Pavyzdys. u = (2; −3), v = (−1; 4). Tuomet u + v = (1; 1), o 2u − v = (5; −10).

Vektorius AB = (xB − xA; yB − yA). Vektorius BA = −AB.

Nenuliniai vektoriai lygiagretūs, jei vienas yra kito kartotinis. Pavyzdžiui, (2; 3) ir (−4; −6) turi priešingas kryptis.

Su skaičiuotuvu
  • Ilgiui įvesk √(3² + 4²) = 5; skaliarinei sandaugai (2; −1) · (3; 4) įvesk 2 × 3 + (−1) × 4 = 2.
  • Kampui naudok cos⁻¹ DEG režimu, padalijęs skaliarinę sandaugą iš abiejų ilgių sandaugos.

Potemė

Vektoriaus koordinatės ir ilgis

Iš taškų koordinačių rask vektorių ir jo ilgį.

AB→=(xB−xA;yB−yA),∣v⃗∣=vx2+vy2\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A),\quad |\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}

Vektoriaus koordinates rask iš pabaigos taško koordinačių atimdamas pradžios taško koordinates.

xy1234561234567034|AB| = 5A(1; 2)B(4; 6)
AB = (3; 4): koordinačių skirtumai yra stačiojo trikampio statiniai, todėl ilgis √(3² + 4²) = 5.

Ilgis yra neneigiamas skaičius; jam taikyk Pitagoro teoremą.

Vektoriaus koordinatės nusako horizontalų ir vertikalų poslinkį. Jo ilgis yra tiesus atstumas tarp pradžios ir pabaigos taškų.

Pavyzdys. A(1; 2), B(4; 6). Rask vektoriaus AB ilgį. AB = (3; 4). Ilgis √(3² + 4²) = 5.

Priešingų vektorių koordinatės priešingos, bet ilgiai vienodi.

Nulinio vektoriaus ilgis 0; jo kryptis neapibrėžta.

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
  • Visa suma turi būti po šaknimi. Neigiamas koordinates kelk kvadratu skliaustuose.

Potemė

Koordinačių metodas

Apskaičiuok ilgį ir atstumą bei patikrink vektorių statmenumą.

∣u⃗∣=ux2+uy2,u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy|\vec u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2},\quad\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y

Atstumui tarp taškų pirmiausia rask jų koordinačių skirtumus. Ilgį skaičiuok pagal Pitagoro teoremą.

xy−112345−4−3−2−1123450u = (3; 4)v = (4; −3)
u · v = 3 · 4 + 4 · (−3) = 0, todėl vektoriai statmeni. Abiejų ilgis √25 = 5.

Skaliarinė sandauga yra skaičius. Du nenuliniai vektoriai statmeni, kai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui.

Koordinačių skirtumai sudaro stačiojo trikampio statinius. Pitagoro teorema duoda atstumą, o skaliarinė sandauga padeda atpažinti statmenumą.

Pavyzdys. u = (3; 4), v = (4; −3). |u| = √25 = 5, o u · v = 12 − 12 = 0, todėl jie statmeni.

Kampo tarp nenulinių vektorių kosinusas: cos α = (u · v)/(|u||v|).

Atkarpos vidurio koordinatės yra galų koordinačių vidurkiai: M = ((xA + xB)/2; (yA + yB)/2).

Su skaičiuotuvu
  • Ilgiui įvesk √(3² + 4²) = 5; skaliarinei sandaugai (2; −1) · (3; 4) įvesk 2 × 3 + (−1) × 4 = 2.
  • Kampui naudok cos⁻¹ DEG režimu, padalijęs skaliarinę sandaugą iš abiejų ilgių sandaugos.

Potemė

Skaliarinė sandauga

Apskaičiuok skaliarinę sandaugą ir suprask, ką ji sako apie kampą.

a⃗⋅b⃗=axbx+ayby\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y

Skaliarinės sandaugos rezultatas yra skaičius.

xy−11234−3−2−11230a = (1; −2)b = (3; 2)
a · b = 1 · 3 + (−2) · 2 = −1 < 0, todėl kampas tarp vektorių bukas – šiek tiek didesnis už 90°.

Daugink atitinkamas koordinates ir sudėk sandaugas.

Skaliarinė sandauga gali būti neigiama, nulis arba teigiama. Nulis nenuliniams vektoriams rodo statų kampą tarp jų.

Pavyzdys. a = (1; −2), b = (3; 2). Rask a · b. Dauginame koordinates: 1 · 3 + (−2) · 2. Gauname 3 − 4 = −1.

Vektoriaus sandauga su savimi lygi jo ilgio kvadratui.

Sandaugos ženklas padeda nustatyti kampo tipą: teigiama – smailus, neigiama – bukas, nulis – status (nenuliniams vektoriams).

Su skaičiuotuvu
  • Įvesk ax × bx + ay × by.
  • Skaliarinė sandauga nėra ilgių sandauga, išskyrus vienakrypčius vektorius.

Potemė

Vektoriai lygiagretainyje

Rask lygiagretainio viršūnę sudėdamas vektorius.

AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}

Lygiagretainyje ABCD vektoriai AB ir DC lygūs: jų kryptis ir ilgis sutampa.

xy−2−11234561234560ABADAC = AB + ADABDC(5; 4)
AC = AB + AD: nuo A eini vektoriumi AB, tada vektoriumi AD (jis lygus BC). Todėl C = B + D − A = (5; 4).

Įstrižainė AC = AB + AD, o BD = AD − AB; todėl viršūnė C = B + D − A.

Pavyzdys. Lygiagretainio ABCD viršūnės A(−1; 2), B(3; 1), D(1; 5). Rask viršūnės C koordinates (x; y). C = B + D − A, nes AC = AB + AD. C = (3 + 1 − (−1); 1 + 5 − 2) = (5; 4). Patikra: AB = (4; −1) ir DC = (4; −1) sutampa.

Vektorių lygybė reiškia vienodas koordinates, o ne tik vienodą ilgį.

Įstrižainių susikirtimo taškas yra abiejų įstrižainių vidurys, todėl (A + C)/2 = (B + D)/2.

Su skaičiuotuvu
  • Skaičiuok atskirai abi koordinates: pirmąją ir antrąją.
  • Patikrink: vektorių AB ir DC koordinatės turi sutapti.

Potemė

Skaliarinė sandauga per ilgius ir kampą

Apskaičiuok skaliarinę sandaugą iš vektorių ilgių ir kampo tarp jų.

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡α\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha

Skaliarinę sandaugą gali rasti ir be koordinačių: padaugink abiejų vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą.

xy−11234567−112340b cos 60° = 1,5a, |a| = 6b, |b| = 360°
a · b = |a| · |b| · cos 60° = 6 · 3 · 1/2 = 9. Tai tas pats, kas |a| padauginti iš b projekcijos 1,5 į a kryptį.

Kampas tarp vektorių yra nuo 0° iki 180°; kai jis bukas, kosinusas ir sandauga neigiami.

Pavyzdys. |a| = 6, |b| = 3, kampas tarp vektorių a ir b lygus 60°. Rask a · b. a · b = |a| · |b| · cos 60° = 6 · 3 · 1/2 = 9. Tą patį gausi ir taip: b projekcija į a kryptį yra 3 · 1/2 = 1,5, o 6 · 1,5 = 9.

Iš tos pačios formulės randamas kampas: cos α = (a · b)/(|a| · |b|), kai ilgiai nenuliniai.

Kai α = 90°, sandauga lygi nuliui – tai statmenumo sąlyga.

Su skaičiuotuvu
  • DEG režimu įvesk 5 × 4 × cos(120) = −10.
  • Kampui rasti įvesk cos⁻¹((a · b) ÷ (|a| × |b|)).

Potemė

Atkarpos vidurys ir pusiaukraštinė

Rask atkarpos vidurį ir trikampio pusiaukraštinės ilgį.

M=(xB+xC2;yB+yC2)M=\left(\frac{x_B+x_C}2;\frac{y_B+y_C}2\right)

Atkarpos vidurio koordinatės yra galų koordinačių vidurkiai.

xy−3−2−1123456345678910111213|AM| = 10A(−2; 3)BCM(4; 11)
M – kraštinės BC vidurys: (4; 11). Pusiaukraštinė AM = (6; 8), jos ilgis √(6² + 8²) = 10.

Pusiaukraštinė jungia viršūnę su priešingos kraštinės viduriu: pirma rask vidurį M, tada vektorių AM ir jo ilgį.

Pavyzdys. Trikampio ABC viršūnės A(−2; 3), B(5; 10), C(3; 12). Rask pusiaukraštinės AM ilgį, kai M – kraštinės BC vidurys. M = ((5 + 3)/2; (10 + 12)/2) = (4; 11). AM = (4 − (−2); 11 − 3) = (6; 8), todėl |AM| = √(36 + 64) = 10.

Vektoriais AM = (AB + AC)/2: pusiaukraštinė yra dviejų kraštinių vektorių vidurkis.

Visos trys pusiaukraštinės kertasi viename taške, kuris kiekvieną jų dalija santykiu 2 : 1 nuo viršūnės.

Su skaičiuotuvu
  • Vidurį skaičiuok (xB + xC) ÷ 2 ir (yB + yC) ÷ 2.
  • Ilgiui įvesk √((xM − xA)² + (yM − yA)²); neigiamus skirtumus kelk kvadratu skliaustuose.

Potemė

Statmenumas ir nežinoma koordinatė

Skaliarine sandauga patikrink statmenumą ir rask nežinomą koordinatę.

a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0

Du nenuliniai vektoriai statmeni, kai skaliarinė sandauga lygi nuliui.

xy−11234−5−4−3−2−1120a = (2; 1)b = (2; −4)
Kai k = 2, a · b = 2 · 2 + 1 · (−4) = 0: vektoriai sudaro statų kampą.

Nežinomą koordinatę rask iš gautos lygties.

Nulinė skaliarinė sandauga tikrina statmenumą be kampo matavimo. Prieš darydamas išvadą įsitikink, kad abu vektoriai nenuliniai.

Pavyzdys. Vektoriai a = (2; 1) ir b = (k; −4) statmeni. Rask k. Statmenumo sąlyga: 2k − 4 = 0. k = 2. Abu vektoriai nenuliniai.

Kolinearumui reikia proporcingų koordinačių; statmenumas yra kita sąlyga.

Jei reikia kampo, naudok cos α = (a · b)/(|a||b|), kai abu ilgiai nenuliniai.

Su skaičiuotuvu
  • Radęs parametrą apskaičiuok skaliarinę sandaugą: turi būti 0.
  • Kampui naudok cos⁻¹, režimą DEG; skliaustais apgaubk visą ilgių sandaugą vardiklyje.

Potemė

Kolinearumas ir geometrijos modelis

Patikrink vektorių kolinearumą ir nustatyk, ar taškai priklauso vienai tiesei.

axby−aybx=0a_xb_y-a_yb_x=0

Kolinearūs vektoriai lygiagretūs arba yra vienoje tiesėje.

xy−2−11234562468100ABABC(5; 10)
AC = (6; 9) = 3 · AB: vektoriai kolinearūs, todėl visi trys taškai guli vienoje tiesėje.

Kolinearumą gali tikrinti kryžminių sandaugų lygybe – taip nereikia dalyti iš koordinatės, kuri gali būti nulis.

Jei vieną nenulinį vektorių gali gauti kitą padauginęs iš skaičiaus, jų kryptys yra vienoje tiesėje. Kryžminė lygybė tai patikrina ir esant nulinėms koordinatėms.

Pavyzdys. A(−1; 1), B(1; 4), C(5; k) yra vienoje tiesėje. Rask k. AB = (2; 3), AC = (6; k − 1). Kolinearumui 2(k − 1) = 3 · 6 = 18, todėl k = 10. Patikra: AC = (6; 9) = 3 · AB.

Norėdamas patikrinti tris taškus, sudaryk du vektorius su bendra pradžia.

Vien koordinačių skirtumų palyginimo nepakanka: svarbus vienodas daugiklis.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink ax × by − ay × bx. Kolineariems vektoriams rezultatas 0.
  • Kai koordinatės apytikslės, labai mažas rezultatas dar nėra tikslaus kolinearumo įrodymas.

Potemė

Kosinusų teorema per vektorius

Išvesk kosinusų teoremą vektoriais ir rask trikampio kraštinę.

∣a⃗−b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡α|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\alpha

Trikampio trečioji kraštinė yra dviejų kraštinių vektorių skirtumas: c = a − b.

xy−1123456789−11234560a, |a| = 8b, |b| = 5a − b, |c| = 760°
Trečioji kraštinė – vektorius a − b. |a − b|² = 64 + 25 − 2 · 8 · 5 · cos 60° = 49, todėl c = 7.

Pakėlę skirtumą skaliariškai kvadratu gauname kosinusų teoremą: c² = a² + b² − 2ab cos α.

Pavyzdys. Trikampio dvi kraštinės lygios 8 cm ir 5 cm, kampas tarp jų 60°. Rask trečiąją kraštinę centimetrais. Kraštinę c atitinka vektorius a − b, todėl c² = (a − b) · (a − b) = a² + b² − 2a · b. a · b = 8 · 5 · cos 60° = 20, todėl c² = 64 + 25 − 40 = 49. c = 7 cm.

Kai α = 90°, cos α = 0 ir formulė virsta Pitagoro teorema.

Kai kampas bukas, cos α < 0, todėl trečioji kraštinė ilgesnė nei pagal Pitagoro teoremą.

Su skaičiuotuvu
  • DEG režimu įvesk √(8² + 5² − 2 × 8 × 5 × cos(60)) = 7.
  • Visą reiškinį po šaknimi laikyk skliaustuose ir prieš skaičiuodamas patikrink kampo režimą.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Trigonometrija Stereometrija: tiesės, plokštumos ir kampai Briaunainiai ir sukiniai Šios temos formulės Matematika 11 klasei Visos temos

Geometrija: vektoriai

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus