PliusMinus Pradėti nemokamai

12 klasė · A ir B kursai · VBE II dalis

Trigonometrinės lygtys ir reiškiniai

Taikyk kampų sumos, skirtumo ir dvigubo kampo formules. Mokykis prastinti reiškinius, spręsti trigonometrines lygtis bei nelygybes ir atrinkti sprendinius nurodytame intervale.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

sin⁡x=a ⇒ x=arcsin⁡a+2πk arba x=π−arcsin⁡a+2πk\sin x=a\ \Rightarrow\ x=\arcsin a+2\pi k\ \text{arba}\ x=\pi-\arcsin a+2\pi k

Pagrindai

Ką verta žinoti

Sumos, skirtumo ir dvigubo kampo formulės keičia sudėtingą kampą paprastesniais.

Lygtis sin x = a turi dvi sprendinių šakas kiekviename periode, tangento lygtis – vieną.

Prieš atrinkdamas sprendinius intervale, užrašyk bendrąjį sprendinį su periodu.

Pavyzdys. cos x = 1/2 intervale [0; 2π): arccos(1/2) = π/3, antrasis sprendinys 2π − π/3 = 5π/3.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Kvadratinė trigonometrinė lygtis sprendžiama keitiniu t = sin x; tinka tik −1 ≤ t ≤ 1.

Jei argumentas 2x, visą jį prilygink formulei ir tik tada dalyk – kartu su periodu.

Išspręstas pavyzdys

Nepamesk sprendinių dalydamas

Lygtis sin 2x = sin x. Kairę pusę keičiame 2 sin x cos x.

Perkeliame viską į vieną pusę: sin x(2cos x − 1) = 0.

Jei būtume padaliję iš sin x, prarastume sprendinius 0 ir π.

Intervale [0; 2π): 0, π/3, π, 5π/3.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 7 potemės. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Sumos ir skirtumo formulės

Išmok apskaičiuoti dviejų kampų sumos ar skirtumo sinusą ir kosinusą, nežinodamas paties kampo.

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\quad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

Kampų sumos sinuso formulėje dauginamos sinuso ir kosinuso reikšmės: sin α cos β + cos α sin β.

xy1−11−1cos αsin α50° + 10° = 60°
Reiškinys sin 50° cos 10° + cos 50° sin 10° sutraukiamas į sin 60°. Vertikalioji taško koordinatė ir yra √3/2.

Kampų sumos kosinuso formulėje dauginamos tos pačios funkcijos reikšmės, o ženklas priešingas: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.

Pavyzdys. Apskaičiuok sin 50° cos 10° + cos 50° sin 10°. Tai sinuso sumos formulės dešinioji pusė su α = 50°, β = 10°. Todėl reiškinys lygus sin 60° = √3/2.

Kai žinomas tik sin α, cos α rask iš sin²α + cos²α = 1, o ženklą parink pagal ketvirtį.

Formulės galioja bet kokiems kampams, todėl jomis gaunamos ir tikslios 15°, 75°, 105° reikšmės.

Dažna klaida – sin(α + β) laikyti lygiu sin α + sin β; patikrink: sin 30° + sin 60° ≠ sin 90°.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink atsakymą DEG režimu: sin(50) × cos(10) + cos(50) × sin(10) turi duoti 0,866…, t. y. √3/2.
  • Tikslų atsakymą su šaknimi palik šaknimi; skaičiuotuvas tik patvirtina apytikslę reikšmę.

Potemė

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys

Išspręsk lygtis sin x = a, cos x = a, tg x = a ir surask visus sprendinius nurodytame intervale.

sin⁡x=a: x=arcsin⁡a+2πk arba x=π−arcsin⁡a+2πk;cos⁡x=a: x=±arccos⁡a+2πk;tg⁡x=a: x=arctg⁡a+πk\sin x=a:\ x=\arcsin a+2\pi k\ \text{arba}\ x=\pi-\arcsin a+2\pi k;\quad \cos x=a:\ x=\pm\arccos a+2\pi k;\quad \operatorname{tg}x=a:\ x=\operatorname{arctg}a+\pi k

Vienetiniame apskritime tą patį sinusą turi du kampai: α ir π − α; tą patį kosinusą – α ir −α.

xy1−11−1y = 1/2π/65π/6
Horizontali tiesė y = 1/2 kerta apskritimą dviejuose taškuose. Todėl lygtis sin x = 1/2 intervale [0; 2π) turi du sprendinius: π/6 ir 5π/6.

Prie kiekvieno sprendinio pridedamas periodas: sinusui ir kosinusui 2πk, tangentui πk, k ∈ ℤ.

Pavyzdys. sin x = 1/2 intervale [0; 2π). arcsin(1/2) = π/6, antroji šaka π − π/6 = 5π/6. Atsakymas: π/6; 5π/6.

Lygtys sin x = a ir cos x = a turi sprendinių tik tada, kai −1 ≤ a ≤ 1.

Neigiamam a sinuso sprendiniai yra III ir IV ketvirčiuose: sin x = −1/2 duoda 7π/6 ir 11π/6.

Tangento lygties du sprendiniai intervale [0; 2π) skiriasi lygiai per π.

Su skaičiuotuvu
  • RAD režimu sin⁻¹(0,5) grąžina 0,5236 = π/6; antrąjį sprendinį rask pats: π − 0,5236.
  • Patikrai įvesk sin(5π ÷ 6): turi gauti 0,5.

Potemė

Dvigubo kampo formulės

Sužinok, kaip iš vieno kampo sinuso ir kosinuso gauti dvigubo kampo reikšmes.

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha

Dvigubo kampo formulės yra sumos formulės, kai β = α.

αcos α = 4/5sin α = 3/51
Kai sin α = 3/5, antrasis statinys lygus 4/5. Todėl sin 2α = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.

sin 2α nėra 2 sin α: reikia abiejų funkcijų, todėl sin 2α = 2 sin α cos α.

Pavyzdys. sin α = 3/5, α smailusis. Tada cos α = 4/5 ir sin 2α = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.

Kosinusui yra trys lygiavertės formos; rinkis tą, kurioje yra žinoma funkcija.

Formulės veikia ir atvirkščiai: 2 sin 15° cos 15° = sin 30°, o 1 − 2 sin²α = cos 2α.

Iš cos 2α = 2cos²α − 1 išplaukia cos²α = (1 + cos 2α)/2 – ji padeda sprendžiant lygtis.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrai įvesk sin(2 × sin⁻¹(0,6)) DEG režimu: gausi 0,96 = 24/25.
  • Kai atsakymas turi būti tikslus, skaičiuotuvu tik patikrink trupmeną, pvz., 24 ÷ 25 = 0,96.

Potemė

Redukcijos formulės ir reiškinių prastinimas

Išmok pakeisti kampą 180° − α, 90° + α ar 180° + α kampu α ir supaprastinti reiškinį iki skaičiaus.

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α,cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α,tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Kai kampas skaičiuojamas nuo 180° ar 360°, funkcijos vardas nesikeičia; nuo 90° ar 270° – sinusas virsta kosinusu ir atvirkščiai.

xy1−11−1cos αsin αα180° − α
Kampai α ir 180° − α simetriški Oy atžvilgiu: sinusai vienodi, o kosinusai priešingų ženklų. Todėl cos(180° − α) = −0,3.

Ženklą nustatyk taip, lyg α būtų smailusis: kuriame ketvirtyje yra naujas kampas ir koks ten pradinės funkcijos ženklas.

Pavyzdys. cos α = 0,3. Kampas 180° − α yra II ketvirtyje, kur kosinusas neigiamas, todėl cos(180° − α) = −cos α = −0,3.

Reiškinį su sin α ir cos α dažnai verta padalyti iš cos α – tada viskas išreiškiama per tg α.

Kvadratų tapatybė leidžia iš sumos sin α + cos α gauti sin 2α: (sin α + cos α)² = 1 + sin 2α.

Prastindamas trupmeną užrašyk sąlygą, kad vardiklis nelygus nuliui.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrai pasirink konkretų kampą, pvz., α = 40°, ir apskaičiuok abi lygybės puses.
  • Vienas sutapęs skaičius dar neįrodo tapatybės, bet greitai parodo ženklo klaidą.

Potemė

Lygtys su sudėtiniu argumentu

Išspręsk lygtis sin 2x = a, cos(x − π/3) = a ir atrink sprendinius, patenkančius į intervalą.

sin⁡(kx+b)=a ⇒ kx+b=arcsin⁡a+2πn arba kx+b=π−arcsin⁡a+2πn\sin(kx+b)=a\ \Rightarrow\ kx+b=\arcsin a+2\pi n\ \text{arba}\ kx+b=\pi-\arcsin a+2\pi n

Visą argumentą, pvz., 2x, prilygink bendrojo sprendinio formulei, o tik tada išreikšk x.

xyπ/6π/3π/22π/35π/6π−1−0,50,510y = √3/2y = sin 2xπ/6π/3
Intervale [0; π] funkcija sin 2x apima visą periodą, todėl tiesė y = √3/2 ją kerta du kartus: ties π/6 ir π/3.

Dalydamas iš 2 padalyk ir periodą: 2x = π/3 + 2πn duoda x = π/6 + πn.

Pavyzdys. sin 2x = √3/2 intervale [0; π]. 2x = π/3 + 2πn arba 2x = 2π/3 + 2πn, todėl x = π/6 + πn arba x = π/3 + πn. Intervale lieka π/6 ir π/3.

Intervale [0; 2π] argumentas 3x apima [0; 6π], t. y. tris ištisus periodus – sprendinių tris kartus daugiau.

Poslinkis argumente perkelia sprendinius: iš x − π/6 = π/6 gauname x = π/3.

Galinius intervalo taškus tikrink atskirai: ar jie įeina ir ar tenkina lygtį.

Su skaičiuotuvu
  • Radęs x, apskaičiuok sin(2 × x) RAD režimu ir palygink su a.
  • Sprendinius intervale gali perrinkti su TABLE, bet jų skaičių pagrįsk periodu.

Potemė

Kvadratinės trigonometrinės lygtys

Prieš šią potemę prisimink: Paprasčiausios trigonometrinės lygtys.

Išspręsk lygtis, kuriose sinusas ar kosinusas pakeltas kvadratu, įvesdamas naują nežinomąjį.

t=sin⁡x (arba t=cos⁡x),−1≤t≤1t=\sin x\ (\text{arba }t=\cos x),\quad -1\le t\le1

Pažymėk t = sin x arba t = cos x ir išspręsk gautą kvadratinę lygtį.

xyπ/2π3π/22π−1−0,50,510t = 1/2t = 1y = sin xπ/6π/25π/6
Keitinys t = sin x davė t = 1/2 ir t = 1. Kiekviena t reikšmė – horizontali tiesė; jos kerta sinusoidę trijuose taškuose.

Atmesk t reikšmes už intervalo [−1; 1]: tokių sinusų ir kosinusų nėra.

Pavyzdys. 2sin²x − 3 sin x + 1 = 0 intervale [0; 2π). t = sin x: 2t² − 3t + 1 = 0, t = 1/2 arba t = 1. sin x = 1/2 duoda π/6 ir 5π/6, sin x = 1 duoda π/2.

Jei lygtyje yra ir sin x, ir cos²x, pakeisk cos²x = 1 − sin²x – liks viena funkcija.

cos 2x keičiamas 1 − 2sin²x arba 2cos²x − 1, priklausomai nuo kitų narių.

Nedalyk iš sin x ar cos x: taip prarasi sprendinius, kuriuose ta funkcija lygi nuliui. Geriau iškelk bendrą daugiklį.

Su skaičiuotuvu
  • Kvadratinę lygtį t atžvilgiu patikrink skaičiuotuvu su EQN arba formule.
  • Kiekvieną rastą x įrašyk į pradinę lygtį RAD režimu – turi gauti 0.

Potemė

Trigonometrinės nelygybės

Išspręsk nelygybes sin x ≥ a, cos x < a ir tg x > a, pasitelkęs vienetinį apskritimą.

sin⁡x≥a – apskritimo lankas virsˇ tiese˙s y=a\sin x\ge a\ \text{– apskritimo lankas virš tiesės } y=a

Sinusas yra taško vertikalioji koordinatė: sin x ≥ a atitinka apskritimo lanką virš horizontalios tiesės y = a.

xy1−11−1y = 1/2π/65π/6
Nelygybė sin x ≥ 1/2 teisinga visuose taškuose virš tiesės y = 1/2, t. y. lanke nuo π/6 iki 5π/6.

Kosinusas yra horizontalioji koordinatė: cos x ≥ a atitinka lanką dešiniau vertikalios tiesės x = a.

Pavyzdys. sin x ≥ 1/2 intervale [0; 2π]. Tiesė y = 1/2 kerta apskritimą ties π/6 ir 5π/6, virš jos lieka lankas tarp jų. Atsakymas [π/6; 5π/6].

Griežtoje nelygybėje galai neįeina, negriežtoje – įeina.

Tangentui naudok grafiką intervale (−π/2; π/2): ten tangentas didėja, o ties ±π/2 neapibrėžtas.

Jei atsakymas turi apimti visą tiesę, prie galų pridėk periodą: [π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk], k ∈ ℤ.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink tašką iš gauto intervalo, pvz., x = π/2: sin(π ÷ 2) = 1 ≥ 1/2.
  • Patikrink ir tašką už intervalo – nelygybė ten turi būti neteisinga.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Trigonometrija Lygtys Funkcijos Šios temos formulės Matematika 12 klasei Visos temos

Trigonometrinės lygtys ir reiškiniai

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus