PliusMinus Pradėti nemokamai

12 klasė · A ir B kursai · VBE II dalis

Išvestinės

Išvestinė parodo funkcijos kitimo greitį. Mokykis diferencijuoti, užrašyti liestinės lygtį, nustatyti didėjimo bei mažėjimo intervalus ir spręsti optimizavimo uždavinius.

Skaityti teoriją Spręsti uždavinius

Teorija ir pavyzdžiai – be registracijos. Uždaviniai ir pažanga – paskyroje.

Parengė PliusMinus · Kaip rengiame ir tikriname medžiagą

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h,y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\qquad y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Pagrindai

Ką verta žinoti

f′(x₀) – liestinės krypties koeficientas ir momentinis kitimo greitis.

Laipsnio taisyklė (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ tinka ir šaknims bei trupmenoms, užrašytoms laipsniais.

Funkcija didėja, kur f′ > 0, ir mažėja, kur f′ < 0.

Pavyzdys. f(x) = x³ − 3x: f′(x) = 3x² − 3 = 0, kai x = ±1. Maksimumas f(−1) = 2, minimumas f(1) = −2.

Dažniausios klaidos

Ką pasitikrinti sprendžiant

Uždarame intervale didžiausios reikšmės ieškok ir galuose.

Optimizavime sudaryk vieno kintamojo funkciją ir užrašyk jo leistinas reikšmes.

Išspręstas pavyzdys

Kodėl f′ = 0 dar nereiškia ekstremumo

f(x) = x³: f′(x) = 3x² = 0, kai x = 0.

Kairėje ir dešinėje f′ > 0 – ženklas nesikeičia.

Funkcija didėja visoje tiesėje, ekstremumo nėra.

Todėl visada tikrink išvestinės ženklo kitimą.

Potemės

Šios temos potemės

Šią temą sudaro 10 potemių. Toliau rasi kiekvienos potemės teoriją ir pavyzdžius. Uždavinius spręsk savo paskyroje.

Potemė

Funkcijos riba

Apskaičiuok ribą taške, kai tiesiogiai įrašęs argumento reikšmę gauni neapibrėžtumą 0/0. Taip pat nagrinėk ribą, kai x artėja į begalybę.

lim⁡x→a(x−a)g(x)x−a=g(a),lim⁡x→∞anxn+…bnxn+…=anbn\lim_{x\to a}\frac{(x-a)g(x)}{x-a}=g(a),\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+\dots}{b_nx^n+\dots}=\frac{a_n}{b_n}

Riba nusako, prie kokio skaičiaus artėja f(x), kai x artėja prie a; pati f(a) gali būti neapibrėžta.

xy−1123451234567890y = x + 3, x ≠ 3riba 6
Funkcija (x² − 9)/(x − 3) sutampa su x + 3 visur, išskyrus x = 3. Ten grafike skylutė, bet artėjant prie jos reikšmės artėja prie 6.

Jei įstatymas duoda 0/0, išskaidyk skaitiklį ir vardiklį ir suprastink bendrą daugiklį x − a.

Pavyzdys. lim, kai x → 3, (x² − 9)/(x − 3). Įstatymas duoda 0/0. Kai x ≠ 3, reiškinys lygus x + 3, todėl riba 6.

Kai x → ∞, racionaliojoje trupmenoje lemia didžiausių vienodų laipsnių koeficientai.

Su šaknimi padeda jungtinis reiškinys: (√(x + 1) − 1)/x = 1/(√(x + 1) + 1), riba ties 0 lygi 1/2.

Išvestinė apibrėžiama kaip riba, todėl šie įgūdžiai reikalingi visai temai.

Su skaičiuotuvu
  • Ribą ties 3 patikrink įvesdamas x = 2,999 ir x = 3,001: abi reikšmės artimos 6.
  • Ribai begalybėje įvesk didelį x, pvz., 100000.

Potemė

Išvestinės samprata: kitimo greitis

Suprask išvestinę kaip momentinį kitimo greitį ir liestinės krypties koeficientą.

f(b)−f(a)b−a,f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Vidutinis kitimo greitis intervale [a; b] – funkcijos pokytis, padalytas iš argumento pokyčio.

xy1234246810120y = x²kirstinė, k = 4liestinė, k = 6(1; 1)(3; 9)
Kirstinės nuolydis 4 – vidutinis greitis intervale [1; 3]. Liestinės nuolydis 6 – momentinis greitis f′(3).

Išvestinė f′(a) – momentinis kitimo greitis: tai liestinės taške a krypties koeficientas.

Pavyzdys. f(x) = x². Intervale [1; 3] vidutinis greitis (9 − 1)/(3 − 1) = 4. Taške x = 3 momentinis greitis f′(3) = 2 · 3 = 6.

Apibrėžimu: (f(a + h) − f(a))/h = ((a + h)² − a²)/h = 2a + h; kai h → 0, gauname 2a.

Fizikinė prasmė: jei s(t) – kelias, tai v(t) = s′(t) – greitis, o v′(t) – pagreitis.

f(a) yra taško aukštis, f′(a) – nuolydis; tai skirtingi skaičiai.

Su skaičiuotuvu
  • Vidutiniam greičiui įvesk (3² − 1²) ÷ (3 − 1).
  • Momentinį greitį patikrink labai mažu h: ((3,001)² − 3²) ÷ 0,001 ≈ 6.

Potemė

Laipsninių funkcijų ir daugianarių išvestinės

Diferencijuok daugianarius ir laipsnines funkcijas, prieš tai supaprastinęs reiškinį.

(xn)′=nxn−1,(c)′=0,(cf)′=cf′,(f±g)′=f′±g′(x^n)'=nx^{n-1},\quad (c)'=0,\quad (cf)'=cf',\quad (f\pm g)'=f'\pm g'

Laipsnio išvestinė: rodiklis nusileidžia daugikliu ir sumažėja vienetu, (x⁵)′ = 5x⁴.

Funkcijaf(x) = 3x⁴ − 2x + 7Išvestinėf′(x) = 12x³ − 2Reikšmė taškef′(1) = 12 − 2 = 10
Tai liestinės nuolydis ties x = 1, o ne pradinės funkcijos aukštis.

Konstantos išvestinė lygi 0, o sumą diferencijuojame diferencijuodami kiekvieną narį atskirai.

Pavyzdys. f(x) = 4x³ − 5x + 7. f′(x) = 12x² − 5. Taške x = 2: f′(2) = 48 − 5 = 43.

Sandaugą (2x − 1)(x + 3) patogiau pirmiausia išskleisti: 2x² + 5x − 3, tada diferencijuoti.

Šaknis ir trupmenas užrašyk laipsniais: √x – tai x laipsniu 1/2, 1/x = x⁻¹, todėl (√x)′ = 1/(2√x), (1/x)′ = −1/x².

Sandaugos išvestinė nėra išvestinių sandauga – tai dažniausia klaida.

Su skaičiuotuvu
  • Išvestinės reikšmę patikrink skaitine formule: (f(2,001) − f(1,999)) ÷ 0,002.
  • Kai kurie skaičiuotuvai turi d/dx mygtuką – jis tik patvirtina, o ne išsprendžia.

Potemė

Sandaugos ir dalmens išvestinė

Taikyk sandaugos ir dalmens taisykles daugianariams, eksponentei ir logaritmui.

(uv)′=u′v+uv′,(uv)′=u′v−uv′v2,(ex)′=ex, (ln⁡x)′=1x(uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad (e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=\frac1x

Sandaugos išvestinė – dviejų narių suma: pirmojo išvestinė kart antrasis plius pirmasis kart antrojo išvestinė.

Daugikliaiu = ln x, v = xTaisyklė(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²Rezultatasf′(x) = (1 − ln x)/x²
Įstatę x = 1 gauname 1. Dalmens išvestinė nėra išvestinių dalmuo.

Dalmens skaitiklyje tvarka svarbi: u′v − uv′; vardiklis – v².

Pavyzdys. f(x) = (x + 3)eˣ. f′(x) = eˣ + (x + 3)eˣ = (x + 4)eˣ, todėl f′(0) = 4.

Kai abu dauginamieji daugianariai, galima ir išskleisti – atsakymas tas pats.

Dalmens taisyklėje sukeitus narius gaunamas priešingo ženklo atsakymas.

eˣ išvestinė yra ji pati, o ln x išvestinė – 1/x, kai x > 0.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink skaitine išvestine: (f(0,001) − f(−0,001)) ÷ 0,002 turi būti apie 4.
  • Tikslų atsakymą užrašyk trupmena, pvz., −1/2.

Potemė

Sudėtinės funkcijos išvestinė

Diferencijuok sudėtines funkcijas: išorinės išvestinė, padauginta iš vidinės išvestinės.

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Sudėtinę funkciją diferencijuok iš išorės į vidų: pirma išorinės funkcijos išvestinė, tada daugink iš vidinės išvestinės.

Vidinis argumentasu = 3xDvi išvestinės(sin u)′ = cos u; u′ = 3Sujungiame(sin 3x)′ = 3cos 3x
Koeficientas 3 atsirado dėl vidinio argumento kitimo greičio.

Pavyzdžiui, ((2x + 1)⁵)′ = 5(2x + 1)⁴ · 2.

Pavyzdys. f(x) = ln(3x + 1). Išorinė ln, jos išvestinė 1/(3x + 1); vidinės 3x + 1 išvestinė 3. f′(x) = 3/(3x + 1), f′(0) = 3.

(sin kx)′ = k cos kx, (cos kx)′ = −k sin kx, (eᵏˣ)′ = k · eᵏˣ.

sin²x yra (sin x)²: išorinė – kvadratas, vidinė – sinusas: (sin²x)′ = 2 sin x cos x.

Trigonometrinių funkcijų išvestinės galioja, kai kampas matuojamas radianais.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrai naudok RAD režimą ir skaitinę išvestinę su h = 0,001.
  • Jei rezultatas skiriasi vidinės išvestinės kartų, pamiršai grandinės taisyklę.

Potemė

Liestinės lygtis

Prieš šią potemę prisimink: Laipsninių funkcijų ir daugianarių išvestinės.

Užrašyk funkcijos grafiko liestinės lygtį ir rask tašką, kuriame liestinė turi reikiamą kryptį.

y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Liestinė eina per grafiko tašką (x₀; f(x₀)), o jos krypties koeficientas k = f′(x₀).

xy−112342468101214160f(x) = x²y = 6x − 9(3; 9)
Taške (3; 9) parabolės išvestinė lygi 6, todėl liestinė y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9 eina per tą tašką tuo pačiu nuolydžiu.

Išskleidęs skliaustus gausi y = kx + b, kur b = f(x₀) − k·x₀.

Pavyzdys. f(x) = x², x₀ = 3. f(3) = 9, f′(3) = 6. y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.

Lygiagrečios tiesės turi vienodus krypties koeficientus: liestinė lygiagreti y = 2x + 1, kai f′(x₀) = 2.

Liestinės posvyrio kampas φ su Ox tenkina tg φ = f′(x₀); neigiamam koeficientui kampas bukas.

Horizontali liestinė reiškia f′(x₀) = 0.

Su skaičiuotuvu
  • Patikrink, ar liestinė eina per tašką: įstatyk x₀ į y = kx + b ir palygink su f(x₀).
  • Kampą rask tan⁻¹(k) DEG režimu; neigiamam k pridėk 180°.

Potemė

Didėjimo ir mažėjimo intervalai

Prieš šią potemę prisimink: Laipsninių funkcijų ir daugianarių išvestinės.

Nustatyk, kur funkcija didėja ir kur mažėja, pagal išvestinės ženklą.

f′(x)>0⇒f dide˙ja,f′(x)<0⇒f mazˇe˙jaf'(x)>0\Rightarrow f\ \text{didėja},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f\ \text{mažėja}

Rask f′(x), išspręsk f′(x) = 0 ir pažymėk šiuos taškus skaičių tiesėje.

xy−2−112−3−2−11230y = x³ − 3x(−1; 2)(1; −2)
Išvestinė 3(x − 1)(x + 1) neigiama tarp −1 ir 1 – ten funkcija mažėja (pažymėta juosta). Už šio intervalo ji didėja.

Išvestinės ženklą kiekviename intervale nustatyk pasirinkęs bandomąją argumento reikšmę.

Pavyzdys. f(x) = x³ − 3x. f′(x) = 3(x − 1)(x + 1). Ženklai: +, −, +. Funkcija mažėja intervale [−1; 1], didėja (−∞; −1] ir [1; +∞).

Monotoniškumo intervalo galus galima įtraukti, nes tolydi funkcija ten nekeičia kitimo krypties.

Jei f′(x) ≥ 0 visoje tiesėje (kvadratinė išvestinė su D ≤ 0), funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

Kai išvestinė nelieka nulis ištisame intervale, pavieniai f′ = 0 taškai monotoniškumo nenutraukia.

Su skaičiuotuvu
  • Išvestinės ženklą intervale patikrink įstatęs vieną tašką, pvz., f′(0).
  • TABLE režimu gali pamatyti, ar reikšmės didėja, bet intervalą pagrįsk išvestine.

Potemė

Ekstremumai

Prieš šią potemę prisimink: Didėjimo ir mažėjimo intervalai.

Rask funkcijos maksimumo ir minimumo taškus bei reikšmes pagal išvestinės ženklo kitimą.

f′: +→− ⇒ max⁡,f′: −→+ ⇒ min⁡f':\ +\to-\ \Rightarrow\ \max,\qquad f':\ -\to+\ \Rightarrow\ \min

Kritiniai taškai – kur f′(x) = 0 arba išvestinės nėra.

xy−2−112−3−2−11230y = x³ − 3xmax 2min −2
Ties x = −1 išvestinės ženklas keičiasi iš + į −: maksimumas 2. Ties x = 1 – iš − į +: minimumas −2.

Jei pereinant per kritinį tašką išvestinės ženklas keičiasi iš + į −, tai maksimumas; iš − į + – minimumas.

Pavyzdys. f(x) = x³ − 3x. f′(x) = 3(x − 1)(x + 1). Ties x = −1 ženklas + → −: maksimumas f(−1) = 2. Ties x = 1: minimumas f(1) = −2.

Nulinė išvestinė savaime nereiškia ekstremumo: x³ ties 0 turi f′ = 0, bet vis tiek didėja.

Ekstremumo taškas – x reikšmė; ekstremumas – funkcijos reikšmė tame taške.

Vietinis maksimumas nebūtinai yra didžiausia funkcijos reikšmė visoje srityje.

Su skaičiuotuvu
  • Apskaičiuok f(−1) = (−1)³ − 3 · (−1) = 2 su skliaustais.
  • Ženklą patikrink įstatęs f′(−2) ir f′(0).

Potemė

Didžiausia ir mažiausia reikšmė intervale

Prieš šią potemę prisimink: Ekstremumai.

Rask tolydžios funkcijos didžiausią ir mažiausią reikšmę uždarame intervale.

max⁡[a;b]f=max⁡{f(a), f(b), f(xk)},xk∈(a;b), f′(xk)=0\max_{[a;b]}f=\max\{f(a),\ f(b),\ f(x_k)\},\quad x_k\in(a;b),\ f'(x_k)=0

Uždarame intervale palygink funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir abiejuose galuose.

xy123−4481216200y = x³ − 3xmažiausia −2didžiausia 180
Intervale [0; 3] didžiausia reikšmė 18 pasiekiama gale x = 3, o ne kritiniame taške. Mažiausia −2 – ties x = 1.

Didžiausia reikšmė yra funkcijos reikšmė (y), o ne taškas x.

Pavyzdys. f(x) = x³ − 3x intervale [0; 3]. Kritinis taškas x = 1: f(1) = −2. Galai: f(0) = 0, f(3) = 18. Didžiausia 18, mažiausia −2.

Kritiniai taškai už intervalo ribų nenagrinėjami.

Atvirame intervale galų reikšmės gali būti nepasiekiamos – tada remiamasi vieninteliu ekstremumu.

Funkcijai x + k/x (x > 0) mažiausia reikšmė 2√k, kai x = √k.

Su skaičiuotuvu
  • Surašyk lentelę: x = 0; 1; 3 ir f(x) reikšmes – rinkis didžiausią.
  • Nepamiršk skliaustų neigiamiems x.

Potemė

Optimizavimo uždaviniai

Prieš šią potemę prisimink: Ekstremumai.

Pagal uždavinio sąlygą sudaryk tikslo funkciją ir rask didžiausią plotą ar tūrį.

S(x)→max⁡:S′(x)=0, zˇenklas +→−S(x)\to\max:\quad S'(x)=0,\ \text{ženklas}\ +\to-

Pažymėk nežinomąjį x, užrašyk jo leistiną intervalą ir kitus dydžius išreikšk per x.

xy51015202550751000S(x) = x(20 − x)(10; 100)
Plotas didžiausias, kai stačiakampio kraštinės 10 ir 10: tada S′(10) = 0 ir S = 100.

Sudaryk vieno kintamojo funkciją, rask jos maksimumą ir grįžk prie klausimo.

Pavyzdys. Stačiakampio perimetras 40. Kraštinės x ir 20 − x, 0 < x < 20. S(x) = x(20 − x), S′ = 20 − 2x = 0, x = 10. Didžiausias plotas 100.

Atsakyme nurodyk ir optimalius matmenis, ir optimizuojamo dydžio reikšmę.

Patikrink, ar rastas x priklauso leistinam intervalui; kitaip lygink galų reikšmes.

Tvora palei upę: aptveriamos tik trys kraštinės, todėl 2x + y = L.

Su skaičiuotuvu
  • Dėžės tūrį patikrink: x(3 − 2x)², kai x = 0,5, duoda 2.
  • Palygink su kaimyninėmis reikšmėmis x = 0,4 ir x = 0,6 – jos turi būti mažesnės.

Pritaikyk žinias

Išbandyk save spręsdamas uždavinius

Susikurk nemokamą paskyrą, pasirink klasę ir kursą. Galėsi spręsti šios temos uždavinius, naudotis užuominomis ir išsaugoti pažangą.

Susikurti nemokamą paskyrą

Iki 10 uždavinių per dieną nemokamai

Jau turi paskyrą? Prisijunk

Toliau

Susijusios temos

Pakartok susijusias sąvokas arba pereik prie temos, kurioje jas pritaikysi.

Funkcijos Lygtys Integralai Šios temos formulės Matematika 12 klasei Visos temos

Išvestinės

Pabandyk išspręsti
šios temos uždavinius

Prisijunk ir spręsk šios temos uždavinius. Jei kils sunkumų, galėsi pasinaudoti užuomina. Pradėti gali nemokamai.

Pradėti nemokamai Palyginti planus